Полулинейное уравнение

[pogulyat_vyshel]

Пусть $D\subset\mathbb{R}^m$ -- ограниченная область с гладкой границей.
Рассмотрим задачу Дирихле в $D$
$-\Delta u=e^u,\quad u(\partial D)=0$.
Доказать, что если область $D$ содержит шар достаточно большого радиуса то указанная задача не имеет классических решений.

ps Гусары sup молчать!

[pogulyat_vyshel]

Подсказака. Доказать, что для любого $\epsilon>0$ существует $A>0$ такое, что для всякой ограниченной области с гладкой границей, в которую можно вписать шар радиуса $R>A$, первое собственное число $\lambda$ оператора $-\Delta$ таково, что $\lambda<\epsilon$

[DeBill]

Кустарно - значит, ручками....
Будем строить последовательность шаров $B_n$ радиусов $R_n$ так, что $u>n$ на $B_n$.
База $n=0$. Экспонента положительна, так что лаплас от "u" отрицателен, и $u$ - супергармоническая. Поэтому она больше гармонической с таким же граничным условием (т.е., нулевой ). Поэтому $u$ положительна (внутре...).
Выберем шар $B_0$ большого радиуса $R_0$ (укажем его опосля) , лежащий в области.
Шаг. Пусть $u>n$ на $B_n$. Тогда $\Delta u = -e^u < -e^n$ на $B_n$. пусть
$u_n =\frac{e^n}{2m}(R_n^2 - |x|^2) $. Т.к. $\Delta u_n =-e^n$, то для $v_n=u-u_n$ имеем $\Delta v_n <0$, так что $v_n$ - супергармоническая. Но на границе $B_n$ она положительна, так что и внутре - тож. Значит, $u>u_n$ на $B_n$. Тогда на $B_{n+1}$ имеем $u>\frac{e^n}{2m}(R_n^2 - R_{n+1}^2) $ (хачу) $>n+1$. Для этого достаточно $R_n^2-R_{n+1}^2$ > $\frac{2m(n+1)}{e^n}$.
Итого: достаточно, чтоб выполнилось условие $R_0^2 > S$, где $S=2m\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n+1}{e^n}$ ....

(Оффтоп)

И, с учетом подсказки ТС, получаем отсюда оценку на первое собственное значение...

[pogulyat_vyshel]

От противного: предположим решение $u\in C(\overline D)\cap C^2(D)$ существует. Тогда в силу принципа максимума $u>0$ в $D$.

Через $\psi$ обозначим первый собственный вектор оператора $-\Delta: \quad -\Delta\psi=\lambda\psi,\quad \lambda>0$. Факт из теории: $ \psi>0$ в $D$.

Домножим левую и правую часть уравнения на $\psi$ и проинтегрируем по $D$. Интегрируя по частям, находим:

$$-\int_D\psi\Delta u dx=-\int_Du\Delta\psi dx=\lambda \int_D u\psi dx=\int_D\psi e^udx.$$

Или другими словами

$$\int_D(\lambda u-e^u)\psi dx=0.$$

Если $\lambda$ достаточно мало то выражение под этим интегралом меньше нуля в $D$ и мы получаем противоречие, что и завершает доказательство .

Таким образом, остается показать, что
если в область $D$ можно вписать шар достаточно большого радиуса то $\lambda$ мало.

Введем обозначения

$$(x,y)=\sum_{i=1}^mx^iy^i,\quad x=(x^1,\ldots, x^m)\in\mathbb{R}^m,\quad |x|^2=(x,x).$$

Факт из теории:

$$\lambda=\inf\{\big\||\nabla v|\big\|^2_{L^2(D)}\mid \|v\|^2_{L^2(D)}=1,\quad v\in H^1_0(D)\}.$$

(На самом деле достигается минимум причем ровно на первой собственной функции.)
Пусть в область $D$ можно вписать шар $\{|x-x_0|^2\le R\}$.

Возьмем функцию $v_p=\max\{0,p(R^2-|x-x_0|^2)\}\in H^1_0(D),\quad p>0.$ Подберем константу $p$ так чтобы было выполнено равенство $\|v_p\|^2_{L^2(D)}=1$:

$$p^2=\frac{c_1(m)}{R^{m+4}},$$

и

$$\lambda\le\big\||\nabla v_p|\big\|^2_{L^2(D)}=p^2 c_2(m) R^{m+2}.$$

Из последних формул видно что с увеличением $R$ собственное число $\lambda$ уменьшается.

ps Интегралы вычисляются переходом в многомерные сферические координаты, константы $c_1,c_2$ связаны с площадью единичной гиперсферы в $\mathbb{R}^m$.

[Red_Herring]

Маленькое упрощение: для задачи Дирихле собственные значения уменьшаются при увеличении области, поэтому достаточно вычислить для вложенного шара. И в силу замены переменных $\lambda(R)= \lambda (1)R^{-2}$. При этом соответствующая с.ф. зависит только от радиуса и потому выражается через Бесселя. Б.т., при нечетном $m$ это элементарная функция.

[DeBill]

pogulyat_vyshel в сообщении #1322196 писал(а):

Если $\lambda$ достаточно мало то

Это место не есть достаточно хороший....
Конечно, фиксируя область (и гипотетическое решение в ней), в пределе получим, что надо. Но, мобыть, к тому моменту шар вылезет за пределы области?
Конкретно: на плоскости, $\lambda =10^{-6} $ уже достаточно мало, или исчо нет?
И если - да, то - почему?

[pogulyat_vyshel]

DeBill в сообщении #1322316 писал(а):

Это место не есть достаточно хороший....
Конечно, фиксируя область (и гипотетическое решение в ней), в пределе получим, что надо. Но, мобыть, к тому моменту шар вылезет за пределы области?
Конкретно: на плоскости, $\lambda =10^{-6} $ уже достаточно мало, или исчо нет?
И если - да, то - почему?

Странно. Вроде ясно сказано:

pogulyat_vyshel в сообщении #1321704 писал(а):

для любого $\epsilon>0$ существует $A>0$ такое, что для всякой ограниченной области с гладкой границей, в которую можно вписать шар радиуса $R>A$, первое собственное число $\lambda$ оператора $-\Delta$ таково, что $\lambda<\epsilon$

[DeBill]

Странно. Вроде бы, ясно спрашивается : достаточно ли такого , чтобы ТОТ интеграл стал отрицательным?
Ответа пока нет....
Ну вот пусть для $\varepsilon = 10^{-6}$ Ваше $A$ равно 100. Как это нам поможет - если нет никакой информации про $u$ ?

[amon]

А приведу в качестве мишени для тапок как я бы угадывал решение этой задачи (к вопросу о подходе физиков и математиков). Заменим поверхность на поверхность сферы, т. е. попытаемся решить эту задачу для сферы радиуса $R$ ($u(R)=0$). Из сферической симметрии следует, что решение одинаково на всех лучах, проходящих через ноль. В качестве такого луча выберем $x=3t,y=3t,z=3t,t>0.$ Тогда задачка сведется к механической задачке $\ddot{u}+e^u=0, u(T)=0.$ В этой задачке несложно сообразить, что $T$ ограничено сверху, значит задача не решается при достаточно большом радиусе сферы. Если эта максимальная сфера сидит внутри исходной поверхности, то, видимо, и исходная задача не решается. (Последний переход не очень очевиден, поэтому здесь бы, если бы всерьез решал, пришлось бы еще чуть подумать, но ответ угадан).

[pogulyat_vyshel]

DeBill в сообщении #1322321 писал(а):

Странно. Вроде бы, ясно спрашивается : достаточно ли такого , чтобы ТОТ интеграл стал отрицательным?
Ответа пока нет....

И не будет. Знак выражения $\lambda u- e^u$ ищите сами, это школьная задача

-- 24.06.2018, 19:48 --

DeBill в сообщении #1322321 писал(а):

Как это нам поможет - если нет никакой информации про $u$ ?

да, смешно

pogulyat_vyshel в сообщении #1322196 писал(а):

Тогда в силу принципа максимума $u>0$ в $D$.

[DeBill]

amon в сообщении #1322325 писал(а):

Последний переход не очень очевиден,

Не, тут как раз проблем нет - сослаться на свойства субгармонических, и все дела. Реально, Вы решили Задачу - но в одномерном случае (я , собстно, сам с неё и начинал - когда засомневался в ответе - и там общее решение явно выписывается (что-то типа "минус логарифм от котахенса")): в многомерном Лаплас - не такой, и явно решить полученное уравнение не получилось

-- 24.06.2018, 20:58 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1322327 писал(а):

Знак выражения $\lambda u- e^u$ ищите сами, это школьная задача

Упс...Пардон. И правда, смешно. Единственно, что как то извиняет мои наезды - это Ваши же ссылки на положительность $u$ (на фиг она тут нужна), и "достаточно мало" вместо "меньше $e$",

[amon]

DeBill в сообщении #1322332 писал(а):

Вы решили Задачу - но в одномерном случае

Вроде как, в сколь-угодно-мерном. Логика (может, дырявая, но сходу дырки не вижу) такая. Пусть решена исходная задача для сферы. Из симметрии решение вдоль любого луча из начала координат - одна и та же функция $u(\tau)$ ($\tau$ - параметризация луча). Выберем параметризацию $x_i=tN$ ($N$ - размерность пространства), и подставим в исходное уравнение. Далее - по тексту.

[Red_Herring]

amon в сообщении #1322341 писал(а):

Вроде как, в сколь-угодно-мерном.

Нет, именно в одномерном. Поскольку оператор Лапласа в сферических координатах (и в сферически-симметрическом случае) содержит дополнительный член.

[DeBill]

amon
Не, не получится: для функции $u = u(r)$, $r=|x|$ будет $\Delta u = u'' + \frac{m-1}{r}u'$
А, уже написали...

[amon]

Red_Herring,DeBill
Я ведь не переходил в сферические координаты. Как выглядит оператор Лапласа в них я, слава богу, знаю. Я хочу написать уравнение на ограничение функции $u(x,y,\dots),$ вдоль прямой $x=\sqrt{N}t,y=\sqrt{N}t,\dots.$ Тогда мы имеем функцию одной переменной $u(x(t),y(t)\dots).$ на этой прямой. В декартовых координатах $\frac{\partial}{\partial x_i}=\frac{dt}{d x_i}\frac{d}{d t}.$ Подставив это в исходное уравнение и исправив в моей параметризации $N$ на $\sqrt{N}$ получим написанное уравнение в любой размерности. Тут что-то не так?