Нужно доказать, что
![$4^n - 1$ $4^n - 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d00fcd4a41117aab16b7b4819602c682.png)
при
![$n > 1$ $n > 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64a72b8c9c5b8f75fec2f7108bae6bc282.png)
является составным числом. Вот как это сделал я.
Число
![$4^n$ $4^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/c/dcca91a3a77c6055fef6c77fdf4b44c582.png)
может оканчиваться либо на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, либо на
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
.
Если оно оканчивается на
![$6$ $6$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/7/327c36301dc71617dc7032f8ce30b23682.png)
, то
![$4^n - 1$ $4^n - 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d00fcd4a41117aab16b7b4819602c682.png)
оканчивается на
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
, значит
![$4^n - 1$ $4^n - 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d00fcd4a41117aab16b7b4819602c682.png)
делится на 5, значит оно является составным.
Если оно оканчивается на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, то
![$4^n - 1$ $4^n - 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d00fcd4a41117aab16b7b4819602c682.png)
оканчивается на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
, а это значит, что...????
Метод математической индукции.
![$4^n - 1$ $4^n - 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d00fcd4a41117aab16b7b4819602c682.png)
при
![$n = 2$ $n = 2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/b/a2b83378f3a851a69124cae9e0f695fc82.png)
это
![$4^2 - 1 = 15 = 3 \cdot 5$ $4^2 - 1 = 15 = 3 \cdot 5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/1/9011d72529178f39f2887a102b65327a82.png)
- составное. База индукции выполняется.
Предполагаем, что
![$4^i - 1$ $4^i - 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95db03e144813e63037e54926640b78b82.png)
при
![$2 \leq i \leq n$ $2 \leq i \leq n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/e/a2e36c052f3db701ccb57af05c6731b882.png)
составное.
![$4^{n+1} - 1 = 4 \cdot 4^n - 1 = 4 \cdot (4^n - 1 + 1) - 1 = 4 \cdot (4^n - 1) + 4 - 1 = 4 \cdot (4^n - 1)+3$ $4^{n+1} - 1 = 4 \cdot 4^n - 1 = 4 \cdot (4^n - 1 + 1) - 1 = 4 \cdot (4^n - 1) + 4 - 1 = 4 \cdot (4^n - 1)+3$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/a/f5a23e410526f94071a19bf8b22bfc9382.png)
Поскольку
![$4^n$ $4^n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/c/dcca91a3a77c6055fef6c77fdf4b44c582.png)
оканчивается на
![$4$ $4$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/f/ecf4fe2774fd9244b4fd56f7e76dc88282.png)
, то
![$4^n - 1$ $4^n - 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d00fcd4a41117aab16b7b4819602c682.png)
оканчивается на
![$3$ $3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/c/5dc642f297e291cfdde8982599601d7e82.png)
. Значит
![$4 \cdot (4^n - 1)$ $4 \cdot (4^n - 1)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/9/9/4995c328175d4ab9a682d47f4c3ccb7282.png)
оканчивается на
![$2$ $2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c5792347bb90ef71cfbace628572cf82.png)
. Значит
![$4 \cdot (4^n - 1)+3$ $4 \cdot (4^n - 1)+3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/f/d5f6eff748fa0e9bf3dd02fb76cfce4b82.png)
оканчивается на
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
. Значит
![$4 \cdot (4^n - 1)+3$ $4 \cdot (4^n - 1)+3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/f/d5f6eff748fa0e9bf3dd02fb76cfce4b82.png)
делится на
![$5$ $5$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/1/9612eecfec9dadf1a81d296bd247377782.png)
. Значит
![$4 \cdot (4^n - 1)+3 = 4^{n+1} - 1$ $4 \cdot (4^n - 1)+3 = 4^{n+1} - 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/c/a2c82e2226ecacf767e8ce80e2eb175482.png)
является составным.
Проблема в том (при условии что я нигде не ошибся), что применение мат. индукции здесь кажется излишним, ведь я в действительности никак (по крайней мере, явно) не использовал предположение шага индукции, т.е. что
![$4^i - 1$ $4^i - 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/d/95db03e144813e63037e54926640b78b82.png)
при
![$2 \leq i \leq n$ $2 \leq i \leq n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/e/a2e36c052f3db701ccb57af05c6731b882.png)
составное.