Избавиться от иррациональности в знаменателе

[MariaKh]

Помогите разобраться! Знаю ,что есть какой-то общий метод ,но не знаю какой . Домножение на что-либо никак не помогает
$ $\dfrac{\sqrt[3]{5}+2}{\sqrt[3]{25}+3\sqrt[3]{5}-2}$ $

[follow_the_sun]

MariaKh
Разложите на множители (кв. трехчлен относительно $5^{\frac{1}{3}}$)

[iifat]

Общего нет. Попробуйте $t=\sqrt[3]5$

[Someone]

Последуйте совету follow_the_sun.
1) Обозначьте $x=\sqrt[3]{5}$. Знаменатель превратится в квадратный трёхчлен относительно $x$. Найдите его корни $x_1$ и $x_2$ (иррациональных корней не пугайтесь). Зная корни, разложите знаменатель на множители: $(x-x_1)(x-x_2)$; вместо $x$ опять напишите $\sqrt[3]{5}$.
2) Чтобы избавиться от множителя вида $\sqrt[3]{5}-x_k$, $k=1,2$, нужно домножить числитель и знаменатель дроби на соответствующий неполный квадрат суммы. Это позволяет избавиться от корней третьей степени в знаменателе.
3) Как избавиться от оставшихся в знаменателе квадратных корней, Вы должны знать.

[RIP]

(Оффтоп)

По-моему, проще методом неопределённых коэффициентов: записать $\dfrac{\sqrt[3]{5}+2}{\sqrt[3]{25}+3\sqrt[3]{5}-2}=x_0+x_1\sqrt[3]{5}+x_2\sqrt[3]{25}$, домножить на знаменатель и получить систему из трёх линейных уравнений от трёх неизвестных $x_0,x_1,x_2$.

[eugensk]

Вам нужен многочлен $v(x)$, такой что $v(\alpha) = 1/h(\alpha)$.

Ищете сперва многочлен $p(x) $, такой что $p(\alpha)=0$ и $\text{НОД}(h(x),p(x))=1$.

Тогда $\exists u,v : h \cdot v+p \cdot u=1$. Ясно, что тогда $h(\alpha)\cdot v(\alpha) = 1$, значит $v(\alpha)$ это ваш ответ, просто и единообразно.

PS Возможно, вам удобно будет взять $\alpha = \sqrt[3]{5}$, но необязательно именно его.

[iakovk]

iifat в сообщении #1322008 писал(а):

Общего нет.

Как сие понимать?

MariaKh в сообщении #1322005 писал(а):

Домножение на что-либо никак не помогает

Можно домножить на ${\left(\sqrt[3]{25}\epsilon ^2+3\sqrt[3]{5}-2\right)\left(\sqrt[3]{25}\epsilon +3\sqrt[3]{5}\epsilon ^2-2\right)}$, где $\epsilon$ - комплексное число, удовлетворяющее равенству $\epsilon ^2+\epsilon+1=0$.

[deep blue]

Еще можно воспользоваться известным разложением $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
Это сразу решает задачу в общем виде для $\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}$
А совсем в общем как доказать что в $\dfrac{1}{\sqrt[a_1]{b_1}+\sqrt[a_2]{b_2}+...+\sqrt[a_n]{b_n}}$ можно избавиться от иррациональности в знаменателе.
То есть числа вида $\sqrt[a_1]{b_1}+\sqrt[a_2]{b_2}+...+\sqrt[a_n]{b_n}$ образуют поле. Есть ли алгоритм нахождения обратного элемента?

[vpb]

deep blue в сообщении #1322165 писал(а):

То есть числа вида $\sqrt[a_1]{b_1}+\sqrt[a_2]{b_2}+...+\sqrt[a_n]{b_n}$ образуют поле. Есть ли алгоритм нахождения обратного элемента?

Числа такого вида поле не образуют, там еще кое-что добавить надо. Читайте книжки, простейшая из них
Л.Калужнин, Введение в общую алгебру.

[MariaKh]

eugensk в сообщении #1322018 писал(а):

Вам нужен многочлен $v(x)$, такой что $v(\alpha) = 1/h(\alpha)$.

Ищете сперва многочлен $p(x) $, такой что $p(\alpha)=0$ и $\text{НОД}(h(x),p(x))=1$.

Тогда $\exists u,v : h \cdot v+p \cdot u=1$. Ясно, что тогда $h(\alpha)\cdot v(\alpha) = 1$, значит $v(\alpha)$ это ваш ответ, просто и единообразно.

PS Возможно, вам удобно будет взять $\alpha = \sqrt[3]{5}$, но необязательно именно его.

вот именно так нам рассказывал преподаватель, но пример никакой мы так и не разобрали ... поэтому все равно не особо понятно
Что брать за $ p(x) $ ? Например $ x^2$ -\sqrt[3]{5}x $ или $ x^6 -5x^3 $

[deep blue]

(Оффтоп)

vpb А Винберг пойдет в качестве замены Калужнина? Или у него не так обстоятельно?

[eugensk]

Всё произвольно, главное чтобы был ноль в альфа, если нод будет не 1, поделите на него. (ясно что и после такого деления будет ноль в альфа, а почему?) Но чем большей степени многочлен p возьмете, тем дольше вам придется вычислять u и v. Расширенный алгоритм Евклида помните?

[MariaKh]

eugensk
Тогда $p(x)$ проще взять $x-\sqrt[3]{5}$
Да вроде бы помню,но как сюда его применить не пойму . Что на что делить надо не пойму, или мы просто подобрать как-то должны $u$ и $v$

[eugensk]

Если не совсем помните, то посмотрите еще раз -- подбирать ничего не надо, пока ищете нод (расширенным алгоритмом Евклида), u и v вычислятся параллельно. Уже пора посчитать.

[MariaKh]

НОД чего искать? У нас ведь кроме $p(x)$ ничего не известно