Бескоорд. выражение для дифференциала векторного отображ-ия

[_hum_]

Имеется векторное отображение $\mathbf{u}:\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3$, $\mathbf{u}(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = (\mathbf{u_r}(\mathbf{r}, \mathbf{s}), \mathbf{u_s}(\mathbf{r}, \mathbf{s}))$, где

$$\mathbf{u_r}(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = \mathbf{r} - \mathbf{s}\,\dfrac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}}, \quad \mathbf{u_s}(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = n \mathbf{s} + \Big(n(- \mathbf{s}\cdot \mathbf{N}) - \sqrt{1 - n^2 \big(1 - (- \mathbf{s}\cdot \mathbf{N})^2\big)}\Big)\mathbf{N}$$

Требуется найти выражение для дифференциала $n$-ой степени отображения $\mathbf{u}$, то есть для $\mathbf{u}^n$.
Как-то не хочется уходить в координатное представление, потому решил попробовать на векторном. Подумал, что нужно попробовать найти дифференциал отображения и потом его возвести в нужную степень. Для этого начал с манипуляций наподобие (не уверен в правильности):

$$\delta \mathbf{u_r}(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = \delta \mathbf{r} - \mathbf{s}\,\dfrac{\delta\mathbf{r}\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}} - \dfrac{\delta\mathbf{s}}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}}(\mathbf{r}\cdot \mathbf{N})+ \dfrac{\mathbf{s}}{(\mathbf{s}\cdot \mathbf{N})^2}(\delta\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}) = \left[\hat{\mathbf{1}} - \mathbf{s}\,\dfrac{\langle\mathbf{N}, \cdot\,\rangle}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}}\right]\delta\mathbf{r} + \left[ \dfrac{\mathbf{s}}{(\mathbf{s}\cdot \mathbf{N})^2}\langle\mathbf{N}, \cdot\,\rangle- \dfrac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}}\hat{\mathbf{1}} \right]\delta\mathbf{s}.$$

И тут столкнулся с тем, что не хватает каких-то концептов, позволяющих записать соответствующий оператор в общем виде (чтобы потом можно было найти его степень). Давным-давно в университете на электродинамике помню что-то похожее делалось с помощью каких-то диад и операций внешнего произведения, но это, к сожалению, было вскользь, и хорошо не усвоилось.
Господа знатоки, подтолкните в правильном направлении. Спасибо.

[Geen]

Вы уверены, что ничего нигде не напутали?

[svv]

_hum_, хочу обратить внимание на деталь, которая, может быть, немного упростит дело. Как обычно, введу свои обозначения. Отображение $\mathbf u$ сопоставляет паре векторов $(\mathbf r_0, \mathbf s_0)$ другую пару векторов $(\mathbf r_1, \mathbf s_1)$. А этой паре — пару $(\mathbf r_2, \mathbf s_2)$, и так далее, по правилу
$\begin{cases}\mathbf r_{k+1} = \mathbf r_k-\dfrac{\mathbf r_k \cdot\mathbf N}{\mathbf s_k\cdot \mathbf N}\;\mathbf s_k\\ \mathbf s_{k+1} = n\, \mathbf s_k + f(\mathbf s_k\cdot \mathbf N)\; \mathbf N\end{cases}\quad (k=0,1,2,\ldots)$
где (если у Вас всё правильно, впрочем, это неважно)
$f(t)=-nt - \sqrt{1 - n^2 \big(1 - (- t)^2\big)}$

Очевидно,
$\mathbf r_{k+1}\cdot \mathbf N=0 \quad (k=0,1,2,\ldots)$
Сдвигая индекс и подставляя это в формулу для $\mathbf r_{k+1}$, получим
$\mathbf r_1 = \mathbf r_2 = \mathbf r_3 = \ldots$
Мелочь, а приятно. Лишь $\mathbf r_0$ может отличаться от остальных.

Дальше, $\mathbf s_{k+1}$ определяется только $\mathbf s_k$, но не $\mathbf r_k$. Так что, фактически, Вам надо исследовать лишь отображение $\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ (sic! все $\mathbf s_k$ лежат в одной плоскости).

[_hum_]

Geen в сообщении #1321884 писал(а):

Вы уверены, что ничего нигде не напутали?

да, попутал. Надо: $\mathbf{u_r}(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = \mathbf{r} + \mathbf{s}\,\dfrac{(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r})\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}}$. (Физическая суть отображения - по заданным лучу (выходящему из точки) и плоскости раздела сред найти преломленный луч (его направление и отправную точку). Соответственно, степень отображения - для построения результирующего луча после прохождения нескольких плоских границ раздела. А дифференциал - для применения градиентного метода оптимизации.)

svv, спасибо, только я немного ошибся, и такого сведения к двумерному случаю нет :) А вообще, меня больше волновал вопрос - как в общей форме записать дифференциал в таком случае, чтобы удобно было потом повторное применение выполнять (и сводить, например, к матричному виду)?

[svv]

_hum_ в сообщении #1321904 писал(а):

Надо: $\mathbf{u_r}(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = \mathbf{r} + \mathbf{s}\,\dfrac{(\mathbf{r}_0 - \mathbf{r})\cdot\mathbf{N}}{\mathbf{s}\cdot \mathbf{N}}$.

Если ошибка была только в этом, всё по-прежнему прекрасно:
$\mathbf{u_r}(\mathbf r, \mathbf s)-\mathbf r_0 = (\mathbf r - \mathbf r_0)- \mathbf{s}\,\dfrac{(\mathbf r - \mathbf r_0)\cdot\mathbf N}{\mathbf s\cdot \mathbf N}$
$(\mathbf{u_r}(\mathbf r, \mathbf s)-\mathbf r_0)\cdot \mathbf N = (\mathbf r - \mathbf r_0) \cdot \mathbf N- \mathbf{s}\cdot \mathbf N\,\dfrac{(\mathbf r - \mathbf r_0)\cdot\mathbf N}{\mathbf s\cdot \mathbf N}=0$
Значит,
$\mathbf{u_r}(\mathbf{u_r}(\mathbf r, \mathbf s), \mathbf{u_s}(\mathbf r, \mathbf s))-\mathbf r_0=(\mathbf{u_r}(\mathbf r, \mathbf s) - \mathbf r_0)- \mathbf{u_s}(\mathbf r, \mathbf s)\,\dfrac{(\mathbf{u_r}(\mathbf r, \mathbf s) - \mathbf r_0)\cdot\mathbf N}{\mathbf{u_s}(\mathbf r, \mathbf s)\cdot \mathbf N}=$
$=\mathbf{u_r}(\mathbf r, \mathbf s)-\mathbf r_0$
То есть, всё равно, начиная со второй итерации, $\mathbf r$-часть пары векторов не меняется.
Ну, и всё, что сказано про $\mathbf s$-часть, тоже пока в силе.

_hum_ в сообщении #1321904 писал(а):

А вообще, меня больше волновал вопрос - как в общей форме записать дифференциал в таком случае, чтобы удобно было потом повторное применение выполнять (и сводить, например, к матричному виду)?

Понимаю.

_hum_ в сообщении #1321904 писал(а):

Физическая суть отображения - по заданным лучу (выходящему из точки) и плоскости раздела сред найти преломленный луч (его направление и отправную точку).

Тогда ясна и природа «двумерности»: падающий луч, преломлённый и нормаль лежат в одной плоскости.

[_hum_]

svv в сообщении #1321918 писал(а):

То есть, всё равно, начиная со второй итерации, $\mathbf r$-часть пары векторов не меняется.

ммм... так дело ж в том, что в следующей итерации уже будут другие $\mathbf{N}$ и $\mathbf{r}_0$ (в общем случае другая плоскость):

[svv]

Так тогда ж у Вас не степень отображения $\mathbf u:\,\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3\times\mathbb R^3$, а композиция нескольких разных отображений такого типа.

[_hum_]

svv в сообщении #1321941 писал(а):

Так тогда ж у Вас не степень отображения $\mathbf u:\,\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3\times\mathbb R^3$, а композиция нескольких разных отображений такого типа.

да, но принцип расчета, думаю, тот же (просто соответствующие производные в композиции будут браться в соответствующих точках)

[Geen]

_hum_ в сообщении #1321942 писал(а):

соответствующие производные в композиции

А зачем тут производные?

_hum_ в сообщении #1321939 писал(а):

в следующей итерации уже будут другие $\mathbf{N}$ и $\mathbf{r}_0$

И, видимо, $n$ везде тоже разное и не имеет общего со "степенью отображения"...

[_hum_]

Geen в сообщении #1321945 писал(а):

А зачем тут производные?

производной отображения называется линейный оператор, участвующий в линейной части приращения (которую называют дифференциалом). Именно ее мне нужно выразить и потом найти композицию.

Geen в сообщении #1321945 писал(а):

И, видимо, $n$ везде тоже разное и не имеет общего со "степенью отображения"...

ну, если Вам интересна исходная задача, то вот она:

Цитата:

Есть источник света на поверхности толстого слоя, состоящего внутри из нескольких оптических сред, границы которых заданы триангулированными поверхностями. Требуется найти направление луча, который бы, пройдя эту многослойную структуру, попал в заданную точку на другом конце слоя.

Я решил попробовать подойти к этой задаче с помощью градиентного метода (минимизируя квадрат разницы между окончанием луча и нужной точкой). Для этого я предполагаю при текущем направлении исходного луча проследить, как он проходит. После чего вычислить градиент и у знать, как изменить направление исходного луча, чтобы уменьшить ошибку. Для этого, как видится, нужно уметь вычислять производную отображения, переводящего направление исходного луча в точку конечного. А для этого, в свою очередь, нужно уметь вычислять что-то наподобие задачи, приведенной в моем первом посте.

[svv]

_hum_ в сообщении #1321987 писал(а):

Geen в сообщении #1321945 писал(а):

И, видимо, $n$ везде тоже разное и не имеет общего со "степенью отображения"...

ну, если Вам интересна исходная задача, то вот она

_hum_, имеется в виду, что это моменты, где читатель сбит с толку:
1) в каждом отображении свои константы, поэтому для их различения надо добавить индекс: $n_k$ и т.п.;
2) не использовать в записи $\mathbf u^n$ букву $n$:
2a) потому что у Вас не степень отображения;
2b) потому что буква $n$ уже использована.

[_hum_]

svv в сообщении #1322002 писал(а):

_hum_, имеется в виду, что это моменты, где читатель сбит с толку

ммм... дело в том, что в первом посте я сформулировал свою основную проблему (как выразить дифференциал/производную отображения в бескоординатной форме) на примере некоторой "эскизной" задачи, которая связана с моей, но опосредованно (я думал, что разобравшись, какие приемы используются при решении этой, чтобы потом применить их к своей). Geen заметил, что "эксизную" задачу можно упростить, чтобы не заморачиваться с исходной проблемой. Поэтому я попытался привести обоснование, почему мне такой вариант не подходит, приведя реальную задачу.
Итого, мне все еще нужно узнать, как решать "эскизную" задачу "в лоб", без сведения ее к другим (мне важны общие приемы поиска выражения для дифференциала/производной, а не специфические ухищрения для конкретных задач).


Тут подумалось, ведь, по сути, приходим к выражению дифференциала отображения через нечто такое:

[D\mathbf{u}](\delta \mathbf{r}, \delta\mathbf{s}) = \begin{bmatrix} \hat{A}_{11} & \hat{A}_{12} \\ \hat{A}_{21} & \hat{A}_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta \mathbf{r} \\ \delta \mathbf{s} \end{bmatrix},

где $\hat{A}_{ij}$ - линейные операторы, а умножение между элементами двух матриц надо понимать как применение оператора к вектору. Тогда, возможно, композицию производных можно попробовать представить как выражение для "умножения" матриц операторов... Но что-то мне кажется, что я изобретаю велосипед, и что такие конструкции уже давно известны в математике. Неужели никто из здешних знатоков не сталкивался?

[arseniiv]

_hum_ в сообщении #1322020 писал(а):

Но что-то мне кажется, что я изобретаю велосипед, и что такие конструкции уже давно известны в математике.

Если я читаю верно, можно как минимум немного упростить: та матрица из линейных операторов представляет на деле один линейный оператор на парах $(\delta\mathbf r,\delta\mathbf s)$* (кстати, почему $\delta$, а не $d$?), так что у вас в итоге останется просто композиция таких операторов.

* В смысле, действующий на сумме $V_r\oplus V_s$ пространств, где $V_r\ni\delta\mathbf r$ и $V_s\ni\delta\mathbf s$, и эта матрица — «разложение» его в «базисе», определяемом вложениями $V_r\to V_r\oplus V_s$ и $V_s\to V_r\oplus V_s$, в том смысле, что если взять обычную матрицу для такого оператора, она будет, понятное дело, блочной и иметь аналогичный вашей вид, если базис $V_r\oplus V_s$ составить из базисов $V_r$ и $V_s$. Это всё просто на всякий случай.

[Geen]

_hum_ в сообщении #1321987 писал(а):

Я решил попробовать подойти к этой задаче с помощью градиентного метода (минимизируя квадрат разницы между окончанием луча и нужной точкой)

Это было бы хорошо, если бы решение было единственное. Но

_hum_ в сообщении #1321987 писал(а):

границы которых заданы триангулированными поверхностями.

вот это означает, что надо проверять, грубо говоря, все комбинации всех треугольников...

-- 23.06.2018, 16:47 --

_hum_ в сообщении #1322020 писал(а):

Geen заметил, что "эксизную" задачу можно упростить, чтобы не заморачиваться с исходной проблемой.

Прошу прощения, это был не я

-- 23.06.2018, 16:49 --

_hum_ в сообщении #1322020 писал(а):

на примере некоторой "эскизной" задачи

У Вас там ошибка, кстати...

-- 23.06.2018, 16:55 --

_hum_ в сообщении #1322020 писал(а):

Тогда, возможно, композицию производных можно попробовать представить как выражение для "умножения" матриц операторов...

Это возможно, но что это даст практически? Это никак не упростит и не ускорит вычисления и не поможет (кажется) увидеть возможные "редукции" вроде той, что продемонстрировал svv...

[_hum_]

arseniiv в сообщении #1322027 писал(а):

та матрица из линейных операторов представляет на деле один линейный оператор на парах $(\delta\mathbf r,\delta\mathbf s)$ [...], так что у вас в итоге останется просто композиция таких операторов.

это понятно :) Меня больше другое волновало - как реально с такими конструкциями работать можно с целью получить простое компактное легко вычислимое выражение (ведь мне нужно будет его использовать в численных методах) - например, насколько для таких "матриц" справедливы свойства, что и для обычных (формулы перемножения, например), можно ли выносить "за скобки" и т.п.

arseniiv в сообщении #1322027 писал(а):

* В смысле, действующий на сумме $V_r\oplus V_s$ пространств, где $V_r\ni\delta\mathbf r$ и $V_s\ni\delta\mathbf s$, и эта матрица — «разложение» его в «базисе», определяемом вложениями $V_r\to V_r\oplus V_s$ и $V_s\to V_r\oplus V_s$, в том смысле, что если взять обычную матрицу для такого оператора, она будет, понятное дело, блочной и иметь аналогичный вашей вид, если базис $V_r\oplus V_s$ составить из базисов $V_r$ и $V_s$. Это всё просто на всякий случай.

ммм... Матрица оператора, насколько мне известно, сводит его действие к простому умножению, а в моем случае некая смесь "умножений" и применений операторов. Или Вы имеете в виду, что я не до конца их разложил, и потому получились "блочные формы"? Если так, то какой раздел математики такими штуками занимается? Это как-то связано с диадиками?

arseniiv в сообщении #1322027 писал(а):

(кстати, почему $\delta$, а не $d$?)

потому что так легче различать обычные векторы (коими являются $\delta \mathbf{s}, \delta \mathbf{r} $ от дифференциалов (ака линейных приращений) векторных функций, коими являются $d\mathbf{s}, d \mathbf{r} $). Это не очень важно в простых случаях, но для более сложных все же помогает не запутаться.

Geen в сообщении #1322031 писал(а):

Это было бы хорошо, если бы решение было единственное.

да, вроде, из физических соображений кажется, что единственное [хотя интересный вопрос к физикам :) ]. И это не сильно принципиально - можно потом "прощупать" пространство возможных решений на другие варианты.

Geen в сообщении #1322031 писал(а):

вот это означает, что надо проверять, грубо говоря, все комбинации всех треугольников...

нет, не надо. В это и замечательность методов градиентных спусков - не надо делать перебор - нам будут указывать направление, в котором находится локальный минимум целевой функции [правда, при условии ее дифференцируемости, но в моем случае будет кусочная дифференцируемость, что, возможно, не очень все испортит])

Geen в сообщении #1322031 писал(а):

У Вас там ошибка, кстати...

принципиальная? Если да, то подскажите, пожалуйста, в чем.

Geen в сообщении #1322031 писал(а):

то возможно, но что это даст практически? Это никак не упростит и не ускорит вычисления и не поможет (кажется) увидеть возможные "редукции" вроде той, что продемонстрировал svv...

это как минимум поможет найти градиент :) Ведь я пока имею только нечто, способное вычислять дифференциал. А мне нужен градиент :) А для этого нужно "увидеть картину целиком" - как там из приращений аргументов получаются приращения функции по отдельным координатам.