Непонятный знак

[Andrey_Kireew]

Добрый день уважаемые участники, ни кто случайно не знает что это за операция, обозначаемая символом $\otimes$, и имеющая следующий смысл
$A \otimes B =(BA)^{-1}$, где $B$ и $A$ - квадратные матрицы.
Вообще, получается что это произведение обратных матриц. Но насколько распространено такое обозначение?

[Pphantom]

Вообще-то так обозначается тензорное произведение, но оно $(BA)^{-1}$ не равно (и даже по размерам не совпадает).

[dsge]

В теории матриц так обозначают произведение Кронеккера, однако эта формула никакого отношения к нему не имеет.

[Andrey_Kireew]

Спасибо dsge "смахивает" на него. Дельта Кронекера там по тексту встречается. Тут я сам немножко запутался. В действительности, судя по контексту получается (не заметил исходной операции обращения)
$(A\otimes B)^{-1}=B^{-1}\otimes A^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
видимо, в численном примере, на основании которого я сделал этот вывод $B$ - это скаляр, но в общем случае - результирующая матрица будет больше чем $A$, и это многое проясняет.

[arseniiv]

Andrey_Kireew в сообщении #1321180 писал(а):

Дельта Кронекера

не имеет ничего общего с произведением Кронекера. Произведение Кронекера — это матрица оператора—тензорного произведения операторов с данными матрицами, если выбрать базисы согласованно.

Кроме того, $(A\otimes B)^{-1}=B^{-1}\otimes A^{-1}$ в общем случае неверно. Посмотрите хоть бы даже статью про произведение Кронекера в русской вики.

-- Вт июн 19, 2018 22:04:15 --

Возможно, авторам просто нужен был символ для «другого умножения», вот и взяли $\otimes$. Хотя есть, например, $\odot$ — ну, о нём могли просто не знать.

[Andrey_Kireew]

arseniiv да я смотрел в википедии, и предыдущее сообщение написал под впечатлением от увиденного. На счёт того что у $\delta_{i,j}$ не имеет ничего общего с $\otimes$ , кроме фамилии Кронекер, - не знаю, может отдалённая связь всё же и есть, может совсем отдалённая. По крайней мере, там встречается выражение
$H=\Delta\otimes \Phi$, где $\Delta$ - матрица, из символов Кронекера (хотя это тоже ни о чём не говорит).

Чем мне это понравилось - результат произведения Кронекера, по размерам больше исходных матриц. И как раз получается что размеры перемножаемых матрицы и вектора совпадают. Раньше я никак не мог понять, как же это умножают матрицу на в несколько раз больший вектор.

P.S.: ну и источник, который я изучаю довольно серьёзный, сомнительно, чтобы там так просто на свой манер использовали общепринятые обозначения, даже об этом не упомянув

[arseniiv]

Andrey_Kireew в сообщении #1321200 писал(а):

не знаю, может отдалённая связь всё же и есть, может совсем отдалённая

Совсем отдалённая у всего есть, в данном случае через тензоры и линейные операторы — произведение Кронекера — это некоторый «лик» тензорного произведения операторов, а символ Кронекера — это набор компонент тождественного оператора и используется при манипуляциях тензорами в индексной записи. Прямой между ними нет. Ну разве что тензорно умножать на тождественный оператор, а потом сворачивать, но свёртка тут в терминах произведения Кронекера будет выглядеть страшненько.

Andrey_Kireew в сообщении #1321200 писал(а):

P.S.: ну и источник, который я изучаю довольно серьёзный, сомнительно, чтобы там так просто на свой манер использовали общепринятые обозначения, даже об этом не упомянув

Ну извините, вы ничего не привели об источнике, даже точного контекста формулы. Так что остальные ничего кроме предположений делать не могут.

[Andrey_Kireew]

arseniiv если интересно, то вот http://www.jstor.org/stable/1912528

[arseniiv]

Спасибо. Можно сказать, что то, что вы писали здесь, вводит в заблуждение о том, что написано в статье. Там, например, неправильной формулы обращения не встречается, и вывести её из того, что там встречается, тоже нельзя. Зато действительно можно сказать точно, что это произведение Кронекера — ведёт себя в выкладках ровно как оно.

[Andrey_Kireew]

arseniiv это потому, что я опять напутал, правильно так
$[A\otimes B]^{-1}=[B A]^{-1}$, где $B$ я полагаю, что скаляр.

Это предпоследняя формула стр. 58 (численный пример) и (4.3), (4.6), (4.8).

[arseniiv]

Я вижу чудесное превращение $\otimes$ в $\cdot$ как раз только в (4.7), и без перемены мест множителей, честно говоря.

[Andrey_Kireew]

(4.7) я даже не смотрел, она не нужна.
А вот обратная матрица от выражения (4.6), и формула на стр 58 - это одно и тоже, там как раз $\otimes$ превращается в $\cdot$

[Andrey_Kireew]

Оказывается эта операция реализована в matlab

Используется синтаксис Matlab M

>>K = kron(X, Y) ;
 

[arseniiv]

Где её только нет, если начать перечислять. В Mathematica, например, это KroneckerProduct[m1, m2], и можно больше двух параметров передать.