Маленькая шайбочка внутри цилиндра

[fred1996]

Пусть нам дан тонкостенный цилиндр массы $M$ и радиуса $R$
Внутри цилиндра помещаем маленьшую шайбочку массы $m$, которая может скользить без трения по поверхности цилиндра. Цилиндр катается по столу без проскальзывания. Шайбу отпускают И система приходит в движение. Определить вертикальную и горизонтальную составляющие скорости шайбочки и скорость ЦТ цилиндра как функцию угла $\alpha$. А так-же определить силу взаимодействия шайбочки и цилиндра в самой нижней точке.
Ну и заодно период малых колебаний.

[pogulyat_vyshel]

Начальные условия считать заданными, $\alpha$ -- угол между радиусом цилиндра проходящем через шайбу и вертикалью.

Про период малых колебаний я бы замял пока. Система с двумя степенями свободы, и что в ней понимать под периодом малых колебаний -- отдельный вопрос

[fred1996]

Ну а что, движение вполне себе симметрично относительно нижнего положения шайбы.

[pogulyat_vyshel]

Ну просто когда говорят про малые колебания в системе с несколькими степенями свободы то по дефолту имеют в виду не то, что подразумеваете вы. А так, да не проблема, можно решать

[fred1996]

Предлагаю пока решить первую часть задачки до колебаний.
А в колебаниях мне кажется есть что обсудить. Поскольку одна гармоника - это то что я указал, а вторая гармоника вырожденная - соответрствует трансляционному перемещению системы по оси $X$ с одинаковой поступательной скоростью шайбочки и цилиндра. Когда шайба просто находится в нижнем положении.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1321572 писал(а):

вторая гармоника вырожденная - соответрствует трансляционному перемещению системы по оси $X$ с одинаковой поступательной скоростью шайбочки и цилиндра.

а я думал ,вы это сразу заметили :)

Пусть $x$ -- координата центра цилиндра на неподвижной горизонтальной оси, тогда $x,\alpha$ -- обобщенные координаты. Кроме интеграла энергии имеется еще линейный интеграл отвечающий циклической координате $x$:

$$\mu\dot x+mR\dot\alpha\cos\alpha=p,\quad \mu=M+J/R^2+m$$

Эффективный потенциал фактически такой же как у математического маятника $W=-R\mu mg\cos\alpha$ Поэтому в системе имеются решения у которых $\alpha(t)$ -- периодическая функция. Приведеную систему можно линеризовать в окрестности $\alpha=0$ и получить уравнение гармонических колебаний для $\alpha$. Если $p=0$ то переменная $x$ будет колебаться с тем же периодом что и $\alpha$
Лагранжиан приведеной системы следующий

$$L=\frac{1}{2}mR^2\dot\alpha^2(\mu-m\cos^2\alpha)-W$$

[fred1996]

Поскольку эту задачку я подсмотрел в одной из олимпиад для школьников, то предлагаю подумать над обычным школьным решением.
pogulyat_vyshel

(Оффтоп)

это реплика не вам, разумеется.
Оригинальная задачка не содержала части относительно малых колебаний. Это просто моя навязчивая идея сработала. Кстати, своим замечанием насчет двух степеней свободы вы меня смутили на несколько минут. Так что я поначалу даже бросился искать другую интуитивную гармонику. И, сдается мне, не я один.

[follow_the_sun]

fred1996

fred1996 в сообщении #1321668 писал(а):

школьным решением.

Можно интегрировать?

[ESN]

fred1996 в сообщении #1321668 писал(а):

Поскольку эту задачку я подсмотрел в одной из олимпиад для школьников, то предлагаю подумать над обычным школьным решением.

Я бы так решал. Начальный угол 90 градусов.
ЗСЭ: $mgR\cos\alpha=\frac{mv_x^2}2+\frac{mv_y^2}2+MV^2$
ЗСИ: $mv_x=MV$
В системе отсчета, связанной с ЦТ цилиндра, скорость шайбы перпендикулярна радиусу: $v_y=(v_x+V)\tg\alpha$.
После подстановок получаю (если не попутал):
$v_x^2=\frac{2\cos^3\alpha}{1+2k+k^2\sin^2\alpha}gR$,
$v_y^2=\frac{2\cos\alpha\sin^2\alpha(1+k)^2}{1+2k+k^2\sin^2\alpha}gR$,
$k=m/M$.

В с.о. ЦТ цилиндра шайба двигается по окружности. Её ускорение $\frac{v_x^2(1+k)^2}R$
В нижней точке оно равно $\frac{2g(1+k)^2}{1+2k}\approx2g,$ если шайба легкая в сравнении с цилиндром.
Это и есть нормальное ускорение шайбы при прохождении низшей точки, поскольку ЦТ цилиндра двигается всегда горизонтально.
Отсюда сила взаимодействия: $N/mg=\frac{3+6k+2k^2}{1+2k}\approx3$, если шайба значительно легче цилиндра.

[pogulyat_vyshel]

ESN в сообщении #1321816 писал(а):

ЗСИ: $mv_x=MV$

это неверно: на цилиндр со стороны пола действует сила трения

[fred1996]

Ну вообщето закона сохранения импульса тут нет. Цилиндр движется по столу без проскальзывания. Это не значит без трения

[ESN]

fred1996 в сообщении #1321835 писал(а):

Ну вообщето закона сохранения импульса тут нет. Цилиндр движется по столу без проскальзывания. Это не значит без трения

pogulyat_vyshel в сообщении #1321834 писал(а):

ESN в сообщении #1321816 писал(а):

ЗСИ: $mv_x=MV$

это неверно: на цилиндр со стороны пола действует сила трения

Спасибо за исправление! Я ошибся.
С учётом сказанного вами получается, кажется, так. $N$ - сила взаимодействия шайбы и цилиндра, т.е. нормальная реакция цилиндра на шайбу и противоположная ей сила действия шайбы на цилиндр.
Уравнение движения шайбы (гор. ось).
$m\dot{v}_x=N\sin\alpha$
Уравнение моментов для цилиндра отн. мгновенной оси вращения, проходящей через точку касания:
$2MR^2\dot{\omega}=N\sin\alpha R$, что даёт $M\dot{V}=N\sin\alpha/2=m\dot{v}_x/2$.
Т.к. начальные скорости и шайбы и цилиндра нулевые, получается такое же соотношение и для скоростей: $MV=mv_x/2$.
Дальше всё, как было. Получаю:
$v_x^2=\frac{4\cos^3\alpha}{(2+k)(2+k\sin^2\alpha)}gR$,
$v_y^2=\frac{(2+k)\cos\alpha\sin^2\alpha}{2+k\sin^2\alpha}gR$.
Ускорение шайбы в системе отсчёта, связанной с ЦТ цилиндра, в момент прохождения через нижнюю точку:
(2+k)g/2. Сила взаимодействия $N=(4+k)mg/2$. Сила трения, если я правильно понимаю дело, в этот момент должна быть равна нулю.
А вообще она равна $N\sin\alpha/2$.

[fred1996]

follow_the_sun
Ну сейчас старшеклассников интегралами не удивишь. На олимпиадах верхнего уровня интегрировать можно.

-- 22.06.2018, 15:50 --

ESN
Что то вы напутали с силой взаимодействия.

[ESN]

Цитата:

ESN Что то вы напутали с силой взаимодействия.

Никогда такого не было, и вот опять!
Да, надо было, видно, рассматривать движение шайбы в с.о. цилиндра. Да там всё сложнее, чем в с.о. ЦТ цилиндра.
Пойду прямым путём. В нижней точке траектории $m\dot{v}_y=mg-N$ (ось $y$ направлена вниз). Продифференцируем выражение для $v_y^2$.
$\dot{v}_y|_{\alpha=0}=\sqrt{2(2+k)gR}\dot{\alpha}$
$\dot{\alpha}|_{\alpha=0}= - \frac{v_x+V}R= - \sqrt{\frac{g(2+k)}{2R}}$
$v_y= - (2+k)g$
$\frac{N}{mg}=(3+k)g$.
Опять получается, что при очень массивном цилиндре $N/mg\approx3$. Я в прошлой версии не обратил внимания на несоответствие предельному случаю
Если тут всё верно, Вы уж напишите, пожалуйста, своё решение, если оно проще и прозрачнее.

[follow_the_sun]

fred1996

fred1996 в сообщении #1321442 писал(а):

период малых колебаний

?

$$\int\limits_{0}^{T}v_x(\alpha)d\alpha=4R$$