Лемма Бореля

[Ivan_B]

Демидович 382. Если функция $f(x)$ определена и локально ограничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли функция ограниченной на данном интервале и соответственно сегменте?

Для случая а) достаточно привести пример $f(x)=\frac{1}{x}$ на интервале $(0,1)$
Для случая б) воспользоваться леммой, выделив из всех интервалов для всех точек конечное покрытие, и найти максимум и минимум среди верхних и нижних границ функции на каждом этих интервалов.

Проблема в том, что в доказательстве леммы я не могу найти место, в котором нельзя заменить отрезок на интервал. Получается, что можно доказать, что для случая а) функция тоже ограниченна.

Зорич стр. 82
Лемма (Борель- Лебег). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.
Пусть $S = \{U\}$—система интервалов $U$, покрывающая отрезок $[a,b] = I_1$. Если бы отрезок $I_1$ не допускал покрытия конечным набором интервалов системы $S$, то, поделив $I_1$ пополам, мы получили бы, что по крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через $I_2$, тоже не допускает конечного покрытия. C отрезком $I_2$ проделаем ту же процедуру деления пополам, получим отрезок $I_3$ и т.д.
Таким образом, возникает последовательность $I_1\supset I_2\supset\dots\supset I_n\supset\dots$ вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интервалами системы $S$. Поскольку длина отрезка, полученного на $n$-м шаге, по построению равна $|I_n|=|I_1|\cdot2^{-n}$, то в последовательности $\{I_n\}$ есть отрезки сколь угодно малой длины (см. лемму из §2, п. 4с). По лемме о вложенных отрезках существует точка $c$, принадлежащая всем отрезкам $I_n, n \in \mathbb N$. Поскольку $c \in I_1 = [a, b]$, то найдется интервал $]\alpha, \beta[ = U \in S$ системы $S$, содержащий точку $c$, т. е. $\alpha<c<\beta$. Пусть $\varepsilon=\min\left\{c-\alpha, \beta-c\right\}$. Найдем в построенной последовательности такой отрезок $I_n$, что$|I_n|<\varepsilon$. Поскольку $c\in I_n$ и $|I_n|<\varepsilon$ заключаем, что $I_n\subset U = ]\alpha, \beta[$. Но это противоречит тому, что отрезок $I_n$ нельзя покрыть конечным набором интервалов системы.

[thething]

Так лемма о вложенных отрезках не работает, если отрезки заменить интервалами. Можете придумать контрпример вложенных интервалов, не имеющих общей точки.

[Ivan_B]

Там берутся левые и правые концы и к ним применяется аксиома полноты. Почему нельзя ее применить к концам интервалов?

[thething]

Хорошо, вот Вам контрпример: система интервалов $\left(0,\frac{1}{n}\right)$. Подумайте, что не так?

-- 20.06.2018, 19:17 --

Подсказка: что за точка получается тут по аксиоме полноты? Единственная ли она? Может ли она быть общей?

[Ivan_B]

Спасибо огромное! Понял.
Поскольку $c \in I_1 = [a, b]$,
нельзя заменить на
Поскольку $c \in I_1 = (a, b)$,
Для случая, когда $c=a$ или $c=b$

[thething]

Только можно не так формально. Просто: лемма о вложенных отрезках, вообще говоря, не верна, если рассматривать не-отрезки.

Кстати, лемма Гейне-Бореля тоже перестаёт быть верной, если указанные в её формулировке множества как-то заменить (например, отрезок покрывать отрезками, и др. варианты).

[Ivan_B]

Для случая с покрытием отрезками проблема возникает если $\varepsilon=0$:
Пусть $\varepsilon=\min\left\{c-\alpha, \beta-c\right\}$. Найдем в построенной последовательности такой отрезок $I_n$, что$|I_n|<\varepsilon$.
Получается, что требования, чтобы длины всех отрезков были больше 0, тоже недостаточно.
Для случая с покрытием интервала проблема возникает, если $c=a$ или $c=b$

[thething]

Опять же, достаточно контрпримера: половину отрезка покрываем самой собой. Оставшийся полуинтервал покрываем бесконечным числом отрезков с одним фиксированным концом. Это если отрезок покрывать отрезками. Для покрытия интервала интервалами и интервала отрезками -- также легко придумывается.

[Ivan_B]

Понял. Еще раз спасибо!
(Пример для интервала $(a,b)$ - система интервалов $(a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n})$ или отрезков $[a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n}]$)