Устойчивость точек равновесия

[Someone]

bitcoin в сообщении #1321323 писал(а):

определитель данной матрицы Якоби будет равен нулю. А значит не будет собственных чисел и собственных векторов

Да Вы что??? Собственные числа и собственные векторы даже у нулевой матрицы есть.

P.S. Исправьте, пожалуйста, формулы в своём сообщении, пока возможно. А то модератор придерётся.

[bitcoin]

Someone в сообщении #1321328 писал(а):

Да Вы что??? Собственные числа и собственные векторы даже у нулевой матрицы есть.

P.S. Исправьте, пожалуйста, формулы в своём сообщении
, пока возможно. А то модератор придерётся.

Про собственный вектор ступил, извините, буду думать, к сожалению, не успел исправить, согласен, формула очень дико выглядела, я просто не знал как исправить. Ваш код я заметил, думал позже исправить, но уже совсем поздно(

-- 20.06.2018, 15:58 --

$$\begin{pmatrix} (x(1-x)-2xy)'_x&(x(1-x)-2xy)'_y \\ (3y(1-y)-xy)'_x& (3y(1-y)-xy)'_y\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-2x-2y&-2x \\ -y& 3-6y-x\\ \end{pmatrix}$$

В начале координат получаем матрицу

$$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0& 3\\ \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0& 3\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a \\ b\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}$$

Собственным вектором будет вектор $(1;0)$, а собственным числом будет $\lambda =1$.

Вещественная часть собственного числа положительна, значит устойчивости нет. А если бы вещественная часть была нулем, что нужно было бы делать?

[thething]

bitcoin в сообщении #1321353 писал(а):

а собственным числом будет $\lambda =1$.

Ну-ка, ну-ка, поподробнее, как считаются собственные числа?

-- 20.06.2018, 18:01 --

bitcoin в сообщении #1321353 писал(а):

А если бы вещественная часть была нулем, что нужно было бы делать?

Я уже выше писал, что использовать другие методы, например, функцию Ляпунова, но это сложнее. См. литературу по дифференциальным уравнениям.

[bitcoin]

$A\vec{x}=\lambda\vec{x}$

$$\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0& 3\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a \\ b\\ \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}$$

$a=\lambda a$ => $\lambda=1$ или $a=0$

$3b=\lambda b$ => $\lambda=3$ или $b=0$

Получаем два собственных вектора: при $\lambda=1$ будет вектор $(1;0)$, при $\lambda=3$ получаем $(0;1)$. Правильно?

[thething]

Вам нужны только собственные значения (а именно -- их действительные части), вектора ни к чему. Ну и вообще говоря, для вычисления собственных значений обычно составляется уравнение $\det(A-\lambda E)=0$.

Теперь у Вас правильно.