СТО, сокращение длин

[OlegML]

Здравствуйте.
Стандартная ситуация: линейка движется вдоль оси X.
Выполняется измерение ее длины. Для этого необходимо измерить координаты начала и конца линейки в один и тот же момент времени и найти разницу.
Координаты концов линейки находятся по формулам:
$x_1=\omega t+\delta_1$ $x_2=\omega t+\delta_2$ и $s=\delta_2-\delta_1$
Измерение дало значение s. Это значение меньше длины покоящейся линейки и совпадает с длиной некоторого эталона длины s, покоящегося в нашей системе.
Пусть имеется штрихованная система отсчета, движущаяся относительно нашей со скоростью V. Насколько я понимаю измерение длины линейки в новой системе
в любой момент времени должно дать значение:
$s'=s\gamma$ где $\gamma=\sqrt{1-\frac {V^2} {c^2}}$
С другой стороны каждой точке траектории тела в нашей системе отсчета с помощью преобразований Лоренца сопоставляется точка траектории тела в штрихованной
системе. Подставив в преобразования Лоренца вместо x уравнение прямолинейно и равномерно движущегося тела $x=\omega t+\delta$ и исключив t получим
вид траектории тела в штрихованной системе отсчета:
$x'=\omega't'+(1-\frac{\omega'V}{c^2})\frac\delta\gamma$ где $\omega'=\frac{\omega+V}{1+\frac{\omega V}{c^2}}$ скорость тела в штрихованной системе.
Края линейки движутся по этим же траекториям с одинаковыми $\omega$ и разными $\delta$. Разница s' между координатами концов линейки в один и тот же момент времени t'
будет:
$s'=x'_2-x'_1=(1-\frac{\omega' V}{c^2})\frac{\delta_2-\delta_1}\gamma=(1-\frac{\omega' V}{c^2})\frac1\gamma s$
Результат получился другой, почему?

[DimaM]

OlegML в сообщении #1321312 писал(а):

Насколько я понимаю измерение длины линейки в новой системе
в любой момент времени должно дать значение:
$s'=s\gamma$ где $\gamma=\sqrt{1-\frac {V^2} {c^2}}$

Нет, с чего бы.
Такое получится только при $V=\omega$ (дальше у вас, судя по всему, знаки попутаны).

OlegML в сообщении #1321312 писал(а):

Разница s' между координатами концов линейки в один и тот же момент времени t' будет:
$s'=x'_2-x'_1=(1-\frac{\omega' V}{c^2})\frac{\delta_2-\delta_1}\gamma=(1-\frac{\omega' V}{c^2})\frac1\gamma s$

Тут где-то ошибка. При $\omega'=0$ должно получаться $s'=\gamma s$.

[rascas]

OlegML в сообщении #1321312 писал(а):

линейка движется вдоль оси X

OlegML в сообщении #1321312 писал(а):

Насколько я понимаю измерение длины линейки в новой системе
в любой момент времени должно дать значение:
$s'=s\gamma$ где $\gamma=\sqrt{1-\frac {V^2} {c^2}}$

Эта формула подходит только если линейка неподвижна в нештихованной системе. А у Вас линейка движется в нештрихованной системе отсчёта. Здесь эту формулу применять нельзя.

[OlegML]

DimaM в сообщении #1321327 писал(а):

ет, с чего бы.
Такое получится только при $V=\omega$

Но вроде бы фраза "Длина линейки равна s." означает, что длина линейки совпадает с длиной эталона длины s, который покоится в нашей системе. Так?
Раз он покоится, для нахождения длины эталона в штрихованной системе упомянутая формула применима.

DimaM в сообщении #1321327 писал(а):

Тут где-то ошибка. При $\omega'=0$ должно получаться $s'=\gamma s$.

Наверно Вы имели ввиду $\omega'=V$, тогда все получается.

А, кажется я понял, тела одинаковые в одной системе не одинаковы в другой. Так?

[rascas]

OlegML в сообщении #1321369 писал(а):

"Длина линейки равна s." означает, что длина линейки совпадает с длиной эталона длины s, который покоится в нашей системе. Так?

Совпадает, но только в этой ИСО где покоится эталон $s$. В другой движущейся ИСО уже нет такого совпадения длин линейки и эталона $s$ .

[DimaM]

OlegML в сообщении #1321369 писал(а):

Наверно Вы имели ввиду $\omega'=V$, тогда все получается.

Нет, именно $\omega'=0$. Тогда в движущейся системе линейка покоится, и ее длина $s'=\gamma s$.
Также формулы для $x'$ и $\omega'$, по-моему, неправильные. Не могли бы вы показать вывод?

[wrest]

OlegML в сообщении #1321369 писал(а):

А, кажется я понял, тела одинаковые в одной системе не одинаковы в другой. Так?

В том смысле, что размер предметов в движущейся относительно нас ИСО "сокращается" не вообще, а вдоль направления движения этой ИСО.

[Geen]

OlegML в сообщении #1321369 писал(а):

А, кажется я понял, тела одинаковые в одной системе не одинаковы в другой. Так?

Да, нарисуйте на ПВ диаграмме две линейки (движущиеся относительно друг-друга) - это будут две полосы - и сразу будет видно, что совпадение их "размеров" (точки пересечения мировых линий концов) имеет место только в одной ИСО.

[OlegML]

Спасибо всем за разъяснения.

DimaM в сообщении #1321393 писал(а):

Также формулы для $x'$ и $\omega'$, по-моему, неправильные. Не могли бы вы показать вывод?

Подставляем в ПЛ из ЛЛ2 уравнение движения нашего тела:
$x'=\frac1\gamma ((\omega+V)t+\delta)$
$t'=\frac1\gamma ((1+\frac{\omega V}{c^2})t+\frac{V\delta}{c^2})$
находим t из второго уравнения
$t=(\gamma t'-\frac{V\delta}{c^2})\frac1{1+\frac{\omega V}{c^2}}$
Подставляем в первое
$x'=\frac1\gamma ((\gamma t'-\frac{V\delta}{c^2})\frac{\omega+V}{1+\frac{\omega V}{c^2}}+\delta)=\omega' t'+(1-\frac{\omega' V}{c^2})\frac\delta \gamma$
$\omega'$ - скорость тела в штрихованной СО определена ранее.

[DimaM]

OlegML в сообщении #1321446 писал(а):

Подставляем в ПЛ из ЛЛ2 уравнение движения нашего тела:
$x'=\frac1\gamma ((\omega+V)t+\delta)$
$t'=\frac1\gamma ((1+\frac{\omega V}{c^2})t+\frac{V\delta}{c^2})$

Это не преобразования Лоренца.
ПЛ имеют вид
$\begin{array}{l}x'=\gamma(x-Vt)\\ t'=\gamma(t-Vx/c^2).\end{array}$

[Pphantom]

В первый раз (на этом форуме) OlegML задавал примерно тот же вопрос 7 лет назад. Судя по результатам предыдущих обсуждений и тому, что наблюдается в этом, в очередной раз тратить силы и время участников на объяснения нерационально. Тема закрыта.