Замыкание произведения в произвольной топологии

[SomePupil]

Здравствуйте.

У меня небольшой вопрос по общей топологии. Речь о выражении

$$\overline{A\times B} = \overline{A} \times \overline{B}.$$

В моем учебнике предлагается это доказать, но мне кажется, что равенство в общем случае неверно. Действительно, легко построить контрпример: рассмотрим конечное топологическое пространство $\{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\}.$ Для него выполняется

$$\overline{\{a\}\times (0, 1)} = \{a\} \times [0, 1],$$

что не совпадает с выражением выше, так как $\overline{\{a\}} = \{a, b\}.$

Дело в том, что предельные точки произведения $A\times B$ в каждой своей окрестности могут содержать точки, которые, например, не отличаются первыми координатами.

Не видно, чтобы предположение хаусдорфовости обоих пространств меняло суть дела.

Так при каких же условиях исходное выражение будет верным?

[Xaositect]

А почему Вы считаете, что $(b, \frac12)$, например, не принадлежит замыканию?

[SomePupil]

SomePupil в сообщении #1311436 писал(а):

Для него выполняется

$$\overline{\{a\}\times (0, 1)} = \{a\} \times [0, 1],$$

То, что справа $-$ незамкнуто. Я ошибся.

Xaositect в сообщении #1311441 писал(а):

А почему Вы считаете, что $(b, \frac12)$, например, не принадлежит замыканию?

Принадлежит, оказывается.

Итак, утверждение, по-видимому, верно. Очевидно, его доказательство должно начинаться так: пусть $(x, y) \in \overline{A \times B}.$ Рассмотрим окрестность этой точки. По определению предельной точки, там есть точки из $A \times B,$ не совпадающие с $(x, y).$ Но я не вижу, как можно показать, что эти самые точки будут отличаться обеими координатами от $(x, y).$ Пока думаю.

[Someone]

SomePupil в сообщении #1311444 писал(а):

Рассмотрим окрестность этой точки.

Она содержит окрестность некоторого специального вида.

[SomePupil]

Someone в сообщении #1311445 писал(а):

Она содержит окрестность некоторого специального вида.

...окрестности вида $U \times V,$ где $U$ и $V$ открыты. С доказательством уже проблем нет.

У меня диссонанс был из-за того, что я рассматривал только множества предельных точек. У множеств справа и слева совокупности предельных точек вполне могут быть разными. А вот замыкания совпадают. Оказывается.

Спасибо за подсказки.

[SomePupil]

У меня снова вопрос по старой теме. Как доказать утверждение через сети? Слева направо это тривиально: если $(x_{\alpha}, y_{\alpha}) \to (a, b),$ то $x_{\alpha} \to a$ и $y_{\alpha} \to b$ по отдельности. А вот как сделать это справа налево? Пока я пытаяюсь изобрести велосипед определить направленности произведения множеств в терминах направленностей множителей, но не очень получается.

SomePupil в сообщении #1311449 писал(а):

У меня диссонанс был из-за того, что я рассматривал только множества предельных точек.

Тут, конечно же, подразумевались множества граничных точек. Множества предельных совпадают по доказанному

P. S. "Сети" $-$ это я так перевел слово "nets".

[Someone]

SomePupil в сообщении #1321068 писал(а):

P. S. "Сети" $-$ это я так перевел слово "nets".

По-русски, насколько я помню, используются термины "направленность" и "обобщённая последовательность". А "сеть" — это семейство подмножеств топологического пространства, обладающее свойствами базы (то есть, каждое открытое подмножество является объединением элементов сети), но элементы сети не обязаны быть открытыми.

-- Вт июн 19, 2018 18:28:00 --

SomePupil в сообщении #1321068 писал(а):

А вот как сделать это справа налево?

Использовать определение топологии произведения.

[SomePupil]

Someone в сообщении #1321153 писал(а):

По-русски, насколько я помню, используются термины "направленность" и "обобщённая последовательность".

Будем знать.

SomePupil в сообщении #1321068 писал(а):

определить направленности произведения множеств в терминах направленностей множителей, но не очень получается.

Получилось в духе капитана кэпа. Пусть $C -$ "направленное множество", соответствующее $A$; $D -$ направленное множество, соответствующее $B$. Тогда направленное множество, соответствующее $A \times B$ можно определить как совокупность $F = C \times D$ с частичным порядком $(\alpha_1, \beta_1) \le (\alpha_2, \beta_2)$ при $\alpha_1 \le \alpha_2$ и $\beta_1 \le \beta_2.$ Тогда при $x'_\alpha \to x$ и $y'_\beta \to y$ получаем $(x', y')_\gamma \to (x, y),$ $\gamma \in F$ в полном соответствии с топологией произведения.