несколько задач

[ewert]

Spook писал(а):

Разве замкнутое подпространство не является полным? Осталось потребовать только нормированность объемлющего пространства.

Нормированность и так есть, а вот полноту надо именно потребовать -- иначе замкнутое подмножество не обязано быть полным.

[Spook]

ewert, Вы не могли бы привести пример замкнутого подпространства, не являющимся полным? А то что-то я сомневаюсь.

[ewert]

Spook писал(а):

ewert, Вы не могли бы привести пример замкнутого подпространства, не являющимся полным? А то что-то я сомневаюсь.

Пусть $B$ -- банахово пространство и $\widetilde M$ -- некоторое его линейное, но не замкнутое подмножество; тогда $\widetilde M$ само по себе есть нормированное, но не банахово пространство. Пусть теперь $L$ -- некоторое бесконечномерное подпространство $B$ и $\widetilde L=L\bigcap\widetilde M$. Тогда $\widetilde L$ замкнуто в $\widetilde M$, но не замкнуто в исходном $M$. Т.е. как пространство $\widetilde L$ не полно.

[AGu]

Spook писал(а):

ewert, Вы не могли бы привести пример замкнутого подпространства, не являющимся полным? А то что-то я сомневаюсь.

Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным.

[Spook]

AGu писал(а):

Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным.

Блин, точно. Но это тривиальный пример ...Вы - читор

ewert писал(а):

Пусть $B$ -- банахово пространство и $\widetilde M$ -- некоторое его линейное, но не замкнутое подмножество; тогда $\widetilde M$ само по себе есть нормированное, но не банахово пространство. Пусть теперь $L$ -- некоторое бесконечномерное подпространство $B$ и $\widetilde L=L\bigcap\widetilde M$. Тогда $\widetilde L$ замкнуто в $\widetilde M$, но не замкнуто в исходном $M$. Т.е. как пространство $\widetilde L$ не полно.

А $M$ - это какое множество?

Я опять запутался в определениях Замкнутость это что? Когда множество содержит свои предельные элементы. То есть пределы всех фундаментальных последовательностей принадлежат пространству. Так почему существуют замкнутые, но не полные пространства?

P.S. А из полноты то замкнутость следует?

[AGu]

Spook писал(а):

AGu писал(а):

Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным.

Блин, точно. Но это тривиальный пример

Пример-то тривиальный, но он как раз отражает суть.

Spook писал(а):

Я опять запутался в определениях

Пусть $X$ -- метрическое пространство и $Y\subseteq X$.
Обозначим через $C_Y$, $C_X$ и $F$ множества всех
сходящихся в $Y$, сходящихся в $X$ и фундаментальных
последовательностей элементов $Y$.
Заметим, что $C_Y\subseteq C_X\subseteq F$.
Замкнутость $Y$ равносильна равенству $C_Y=C_X$,
а полнота $Y$ -- равенству $C_Y=F$.
Отсюда сразу видно, что полнота влечет замкнутость.
Если же $C_Y=C_X\ne F$, то $Y$ замкнуто, но не полно.
В случае полного $X$ мы имеем $C_X=F$, а значит,
в этом случае замкнутость $Y$ раносильна полноте $Y$.

[ewert]

Spook писал(а):

Замкнутость это что? Когда множество содержит свои предельные элементы. То есть пределы всех фундаментальных последовательностей принадлежат пространству.

Совсем не то есть. В определении замкнутости фигурируют не фундаментальные, а сходящиеся последовательности. Сходимость -- требование более жёсткое: если последовательность сходится, то она и фундаментальна, однако из фундаментальности сходимость вовсе не следует.

Полнота пространства по определению означает, что в таком пространстве сходимость равносильна фундаментальности. Соответственно и для подмножеств: замкнутость подмножества равносильна его полноте как пространства тогда и только тогда, когда внешнее пространство полно.

Кстати (это к вопросу о том, "какое множество"): нормы и линейность тут не при чём, утверждение -- чисто метрическое.

[Pyphagor]

To Spook.
Извините за нескромный вопрос... а Вы вообще где учитесь?

[Spook]

AGu писал(а):

Spook писал(а):

AGu писал(а):

Пусть $X$ -- произвольное нормированное пространство, не являющееся полным. Тогда $X$ -- замкнутое подпространство пространства $X$, не являющееся полным.

Блин, точно. Но это тривиальный пример

Пример-то тривиальный, но он как раз отражает суть.

Да, с этим не поспоришь.

AGu писал(а):

Пусть $X$ -- метрическое пространство и $Y\subseteq X$.
Обозначим через $C_Y$, $C_X$ и $F$ множества всех
сходящихся в $Y$, сходящихся в $X$ и фундаментальных
последовательностей элементов $Y$.
Заметим, что $C_Y\subseteq C_X\subseteq F$.

Вот здесь немножко непонятно, почему сходящаяся в $X$ последовательность должна быть фундаментальной в $Y$?

ewert писал(а):

Совсем не то есть. В определении замкнутости фигурируют не фундаментальные, а сходящиеся последовательности. Сходимость -- требование более жёсткое: если последовательность сходится, то она и фундаментальна, однако из фундаментальности сходимость вовсе не следует.

Да, я ошибся в определении.

ewert писал(а):

замкнутость подмножества равносильна его полноте как пространства тогда и только тогда, когда внешнее пространство полно.

Вот здесь я и запутался. Почему не может быть подмножество полным, а само множество неполным?

ewert писал(а):

Кстати (это к вопросу о том, "какое множество"): нормы и линейность тут не при чём, утверждение -- чисто метрическое.

Просто Вы в начале не написали, что такое $M$, вот я и решил уточнить, мало ли, имелось ввиду $B$ или еще что-то.

Pyphagor писал(а):

To Spook.
Извините за нескромный вопрос... а Вы вообще где учитесь?

В институте. И не надо так кричать. За вопрос извиняю, но тон Ваш мне не нравится.

[Pyphagor]

Да уж интересно... как Вы умудрились услышать в тексте высокий тон?
Вас, что огромный шрифт "To Spook" смутил?

[AGu]

Spook писал(а):

почему сходящаяся в $X$ последовательность должна быть фундаментальной в $Y$?

По определению.

Возможно, Вы забыли, что $Y$ является подпространством $X$,
а значит, расстояние в $Y$ то же самое, что и в $X$,
т.е. $\rho_Y(y_1,y_2)=\rho_X(y_1,y_2)$ для любых $y_1,y_2\in Y$.

На всякий случай поясню подробно.
Пусть последовательность $(y_n)$ элементов $Y$ сходится в $X$.
Тогда имеется такой элемент $x\in X$, что

$$(\forall\,\varepsilon>0)(\exists\,\bar n)(\forall\,n\geqslant\bar n)\ \rho_X(y_n,x)<\varepsilon/2.$$

Следоватлеьно, при $n,m\geqslant\bar n$ мы имеем

$$\rho_Y(y_n,y_m)=\rho_X(y_n,y_m)\leqslant\rho_X(y_n,x)+\rho_X(y_m,x)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.$$

[ewert]

Spook писал(а):

AGu писал(а):

Пусть $X$ -- метрическое пространство и $Y\subseteq X$.
Обозначим через $C_Y$, $C_X$ и $F$ множества всех
сходящихся в $Y$, сходящихся в $X$ и фундаментальных
последовательностей элементов $Y$.
Заметим, что $C_Y\subseteq C_X\subseteq F$.

Вот здесь немножко непонятно, почему сходящаяся в $X$ последовательность должна быть фундаментальной в $Y$?

Попробую то же самое, но чуть иначе, чем AGu.
1). Сходящаяся последовательность всегда фундаментальна: если элементы сходятся к некоторому (т.е. приближаются к нему), то они автоматически сближаются и между собой (а это и есть фундаментальность).
2). Фундаментальность не зависит от того, в самом пространстве рассматривается последовательность или в каком-либо из подпространств (при одной и той же метрике, естественно). А вот сходимость, между прочим -- зависит. Причина: фундаментальность -- внутреннее свойство самой последовательности (т.е. определяется свойствами только её элементов и ничем иным). Для сходимости же требуется наличие некоего "внешнего" по отношению к последовательности элемента (предельной точки); и это, разумеется, зависит от выбора подмножества, в котором мы работаем.

Добавлено спустя 7 минут 34 секунды:

Spook писал(а):

ewert писал(а):

замкнутость подмножества равносильна его полноте как пространства тогда и только тогда, когда внешнее пространство полно.

Вот здесь я и запутался. Почему не может быть подмножество полным, а само множество неполным?

Может, конечно. Запутались -- видимо, потому, что я шибко уж изысканную фразу завернул -- там две вложенные эквивалентности.

Вот пусть само мн-во -- это $Y$, а его подмножество -- $X$. Моё утверждение состояло в следующем:

(Замкнутость $X$ $\Longleftrightarrow$ полноте $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

А вовсе не

(Полнота $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

[Cave]

ewert
Я полагаю, что всё-таки верность первого утверждения второй эквивалентности для всех $X$ - подмножеств $Y$ равносильна полноте $Y$. Ведь для произвольного $X$ могут быть выполнены обе части первой эквивалентности, а, значит, и она сама, и при неполном $Y$.

AGu
Последовательность, сходящаяся в $X$ (у Вас оно объемлющее пространство, в отличие от ewert'а), может и не лежать в $Y$ - произвольном подмножестве $X$, поэтому утверждение о том, что она в $Y$ фундаментальна, весьма странно.
Или я что-то не так понял?

[ewert]

Cave писал(а):

ewert
Я полагаю, что всё-таки верность первого утверждения второй эквивалентности для всех $X$ - подмножеств $Y$ равносильна полноте $Y$. Ведь для произвольного $X$ могут быть выполнены обе части первой эквивалентности, а, значит, и она сама, и при неполном $Y$.

Плохо понимаю, что Вы хотите сказать; поэтому просто разверну то утверждение, на которое Вы ссылаетесь.

Из полноты всегда следует замкнутость в объемлющем пространстве (независимо от полноты этого объемлющего пространства). Поэтому то утверждение фактически сводится вот к чему:

(Замкнутость $X$ $\Longrightarrow$ полнота $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

А это означает вот что.

1). Если внешнее $Y$ полно, то любое замкнутое подмножество $X$ само по себе тоже полно.

2). Если внешнее $Y$ не полно, то существует подмножество $X$, которое замкнуто в $Y$, но само по себе тоже не полно (тривиальный пример -- само $Y$).

[AGu]

Cave писал(а):

AGu
Последовательность, сходящаяся в $X$ (у Вас оно объемлющее пространство, в отличие от ewert'а), может и не лежать в $Y$ - произвольном подмножестве $X$, поэтому утверждение о том, что она в $Y$ фундаментальна, весьма странно.

Виноват. Я только сейчас заметил двусмысленность своих определений $C_Y$, $C_X$ и $F$.
Вот развернутая версия:
$C_Y$ -- множество всех сходящихся в $Y$ последовательностей элементов $Y$;
$C_X$ -- множество всех сходящихся в $X$ последовательностей элементов $Y$;
$F$ -- множество всех фундаментальных последовательностей элементов $Y$.

Добавлено спустя 7 минут 12 секунд:

ewert писал(а):

(Замкнутость $X$ $\Longrightarrow$ полнота $X$) $\qquad\Longleftrightarrow\qquad$ (полноте $Y$)

Тут просто квантор спрятан:
$\bigl((\forall\, X\subseteq Y)(X\text{ замкнуто}\Rightarrow X\text{ полно})\bigr)\Leftrightarrow(Y\text{ полно})$