2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разбиение куба с целочисленным ребром
Сообщение14.06.2018, 10:08 
Аватара пользователя


01/12/11
7431
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Разбейте какой нибудь куб с целочисленным ребром на кубики с целочисленными рёбрами так, чтобы не все кубики были одинаковы, но кубиков каждого размера было одно и то же количество.
Может ли это одно и то же количество быть меньше 24?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение куба с целочисленным ребром
Сообщение14.06.2018, 10:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13362
Влезаю в задачу, чтобы хоть чуть-чуть понять, что надо делать.
Необходимое условие написать легко: $k\cdot \sum n_i^3=N^3$.
Самое простое, что подходит: $3\cdot (1^3+2^3)=3^3$. Но с разрезанием не получится. Можно, конечно, увеличить вдвое размер итогового куба, тогда разрезание получается:
$24\cdot (1^3+2^3)=6^3$. Вот оно, двадцать четыре-то! Ну поменьше искать надо. Вот для перебора необходимого набора: берём подряд кубы и делим их на разные суммы меньших кубов. И следим за возможностью разрезания.
Ну, например, подходит $6\cdot (1^3+2^3+3^3)=6^3$. Опять не получается втиснуть средние кубики :-( (у меня из Лего). Удваиваем куб и опять получаем $24$. То есть, либо искать равенство с коэффициентом $2$, а потом удваивать куб в надежде на то, что кубики уложатся, либо искать без удвоения.. Вдруг когда-нибудь без удвоения получится?
Например: $16\cdot (1^3+2^3+7^3+8^3)=24^3$ Тоже после удвоения. А вот как проверить на разрезаемость?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение куба с целочисленным ребром
Сообщение15.06.2018, 11:15 


14/06/18
4
Например, $\[{3^3} = {2^3} + 17 \cdot {1^3}\]$, вот вам разные 18 целочисленных неодинаковых кубиков, и разрезание очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение куба с целочисленным ребром
Сообщение15.06.2018, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4671
Нов-ск
underline в сообщении #1320095 писал(а):
Например, $\[{3^3} = {2^3} + 17 \cdot {1^3}\]$, вот вам разные 18 целочисленных неодинаковых кубиков, и разрезание очевидно.

$\[{3^3} = X \cdot {2^3} + Y \cdot {1^3}\]$
По условию необходимо $X=Y$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group