Разбиение куба с целочисленным ребром

[Ktina]

Разбейте какой нибудь куб с целочисленным ребром на кубики с целочисленными рёбрами так, чтобы не все кубики были одинаковы, но кубиков каждого размера было одно и то же количество.
Может ли это одно и то же количество быть меньше 24?

[gris]

Влезаю в задачу, чтобы хоть чуть-чуть понять, что надо делать.
Необходимое условие написать легко: $k\cdot \sum n_i^3=N^3$.
Самое простое, что подходит: $3\cdot (1^3+2^3)=3^3$. Но с разрезанием не получится. Можно, конечно, увеличить вдвое размер итогового куба, тогда разрезание получается:
$24\cdot (1^3+2^3)=6^3$. Вот оно, двадцать четыре-то! Ну поменьше искать надо. Вот для перебора необходимого набора: берём подряд кубы и делим их на разные суммы меньших кубов. И следим за возможностью разрезания.
Ну, например, подходит $6\cdot (1^3+2^3+3^3)=6^3$. Опять не получается втиснуть средние кубики (у меня из Лего). Удваиваем куб и опять получаем $24$. То есть, либо искать равенство с коэффициентом $2$, а потом удваивать куб в надежде на то, что кубики уложатся, либо искать без удвоения.. Вдруг когда-нибудь без удвоения получится?
Например: $16\cdot (1^3+2^3+7^3+8^3)=24^3$ Тоже после удвоения. А вот как проверить на разрезаемость?

[underline]

Например, $\[{3^3} = {2^3} + 17 \cdot {1^3}\]$, вот вам разные 18 целочисленных неодинаковых кубиков, и разрезание очевидно.

[TOTAL]

underline в сообщении #1320095 писал(а):

Например, $\[{3^3} = {2^3} + 17 \cdot {1^3}\]$, вот вам разные 18 целочисленных неодинаковых кубиков, и разрезание очевидно.

$\[{3^3} = X \cdot {2^3} + Y \cdot {1^3}\]$
По условию необходимо $X=Y$