2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расчёт 3j-символов специального вида, когда один из j=1
Сообщение11.06.2018, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1446
Добрый день.

(Дисклеймер для Админов)

Помещаю тему в ПРР(Ф), т.к. полагаю, что с 3j-символами именно посетители этого раздела имеют чаще всего дело

Прошу прощения за беспокойство у Всех. Вновь у меня идиотические проблемы, связанные с моим непроходимым идиотизмом.
Понадобились мне (на определённый чёрт) Вигнеровские 3j-символы определённого вида:
$
\begin{pmatrix}
 j & 1 & j' \\
 m & \sigma & m' \\
\end{pmatrix}
$
Естественно, выражения для ненулевых коэффициентов такого вида доступны в Священной Книге (то бишь 3-м Ландавшице):
$
\begin{pmatrix}
 j & 1 & j \\
 m & 0 & -m \\
\end{pmatrix} = (-1)^{j+m+1} \sqrt{\frac{2m}{2j(2j+1)(2j+2)}}
$
$
\begin{pmatrix}
 j & 1 & j \\
 m & 1 & -(m+1) \\
\end{pmatrix} = (-1)^{j+m+1} \sqrt{\frac{2(j-m)(j+m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}
$
$
\begin{pmatrix}
 j+1 & 1 & j \\
 m & 0 & -m \\
\end{pmatrix} = (-1)^{j-m} \sqrt{\frac{2(j-m+1)(j+m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}
$
$
\begin{pmatrix}
 j+1 & 1 & j \\
 m & 1 & -(m+1) \\
\end{pmatrix} = (-1)^{j-m} \sqrt{\frac{(j-m)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}}
$
(конечно, там они даны не совсем в таком виде, я их преобразовал к нужному мне виду, возможно с ошибками).
Ну и конечно, написал C-шную функцию (точнее несколько версий), чтобы их считать. Последняя имеет такой вид:

код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис C
double w3j_sym(int j1, int m1, int sigma, int j2, int m2)
       {double res=0.0;
         
         if(j1==j2)
          {
           if(sigma==0 && m1==-m2 )
            {res=pow(-1.0, j1+m1+1) * 2*m1 / sqrt(2*j1*(2*j1+1)*(2*j1+2));}

           if(sigma== 1 && m2==-(m1+1) )          
            {res=pow(-1.0, j1+m1+1) * sqrt(2*(j1-m1)*(j1+m1+1)) / sqrt(2*j1*(2*j1+1)*(2*j1+2));}

           if(sigma==-1)
            {res=pow(-1.0, j1+j2+1)*w3j_sym(j1, -m1, -sigma, j2, -m2);}

          }


         if(j1==(j2+1))
          {
          if(sigma==0 && m1==-m2)
            {res=pow(-1.0, j2+m1) * sqrt(2*(j2+m1+1)*(j2-m1+1)) / sqrt(2*(2*j2+1)*(2*j2+2)*(2*j2+3));}
           if(sigma== 1 && m2==-(m1+1) )
            {res=pow(-1.0, j2+m1) * sqrt(2*(j2-m1)*(j2-m1+1)) / sqrt(2*(2*j2+1)*(2*j2+2)*(2*j2+3));}
           if(sigma==-1)
            {res=pow(-1.0, j1+j2+1)*w3j_sym(j1, -m1, -sigma, j2, -m2);}
          }

        return res;
       }
 

Косячность реализации (что j1 $\geq$ j2) компенсируется тем, что так они в эту функцию потом и поступают.
Но, сравнивая результаты с сетевым 3j-калькулятором http://www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml, а также результаты уже финального кода на тестовом примере с расчетами по аналогичной проге я получаю грусть, печаль и разочарование в своих умственных способностях.

Прошу помочь кто чем может! (статейкой/книжкой, где расчёты подобных символов разжёваны для таких идиотов, как я, уже готовым кодом или алгоритмом, который можно без угрызений совести вставить в свой, или просто советом и комментарием, что я идиот) :oops: Всему буду рад.

Я уже перерыл кучу этих наших Интернетов, как русских, так и заграничных. Посмотрел и другие книги (такие, как Варшалович, Зар и т.д.) и статьи, но от идиота головного мозга ничего не помогает.
:-(
Поэтому и надеюсь на помощь живительных советов и пенделей от Здешних Обитателей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчёт 3j-символов специального вида, когда один из j=1
Сообщение12.06.2018, 04:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3233
ФТИ им. Иоффе СПб
Что бы я сделал. Я бы вбил в Математику общее выражение из ЛЛ предварительно сверившись, например, с Варшаловичем на предмет возможных ошибок в ЛЛ, и заставил бы железяку сосчитать мне явные выражения для Вашего случая. После этого, не мудрствуя лукаво, я бы заставил Математику выплюнуть сишный код полученного выражения и copy-paste'ом вставил бы его в свою программу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчёт 3j-символов специального вида, когда один из j=1
Сообщение12.06.2018, 04:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5027
В коде в первом варианте $2 m_1$ не под корнем, так и должно быть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчёт 3j-символов специального вида, когда один из j=1
Сообщение12.06.2018, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1446
g______d, да, действительно ошибся. Должно быть
$\begin{pmatrix}
j & 1 & j \\
m & 0 & -m \\
\end{pmatrix} = (-1)^{j+m+1} \frac{2m}{\sqrt{2j(2j+1)(2j+2)}}$
g______d в сообщении #1319193 писал(а):
Я бы вбил в Математику общее выражение из ЛЛ предварительно сверившись, например, с Варшаловичем на предмет возможных ошибок в ЛЛ

К сожалению проблема не сколько в самом вбивании формул, сколько в том, чтобы их размножить, поскольку в этих книгах приводятся минимальные наборы формул, из которых потом при помощи преобразований перестановок и инверсий генерируются все остальные. В первоначальном варианте я все формулы посчитал вручную и забил через if-ы с соответствующими условиями. Но, видимо, неправильно.

А код для C, который генерирует Mathematika 11.1, которая у меня на рабочем компе, для нужных мне 3j-символов, несколько некомпилируемый (он содержит такие штуки, как piecewise и факториалы). Ну ладно, это всё можно закодить, но факториал для $j > 20$ -- это уже жёстко...

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчёт 3j-символов специального вида, когда один из j=1
Сообщение13.06.2018, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1446
amon, спасибо за совет. Я взял Wolfram Mathematica 11.1 и посчитал все возможные варианты 3j-символов (правда, пришлось поупрощать ручками, ну да и ладно, вроде не накосячил, я надеюсь). Чтобы не потерять (и если м.б. кому-то понадобится) публикую все эти случаи тут.
Общий вид 3j-символа:
$\begin{pmatrix}
j_1 & 1 & j_3 \\
m_1 & m_2 & m_3 \\
\end{pmatrix}$

  • $j_1 = j_3 = j$:
    • $m_2 = +1$:
      $
\begin{pmatrix}
j & 1 & j \\
m_1 & +1 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{0, m_1+m_3+1} \cdot \frac{(-1)^{m_3 - j}}{\sqrt{2}} \cdot 
\sqrt{
\frac{(1+j+m_3)(j-m_3)}{j (j+1) (2j+1)}
}
$
    • $m_2 = 0$:
      $
\begin{pmatrix}
j & 1 & j \\
m_1 & 0 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{0, m_1+m_3} \cdot {(-1)^{m_3 - j}} \cdot 
\frac{m_3}{\sqrt{j (j+1) (2j+1)}}$
    • $m_2 = -1$:
      $
\begin{pmatrix}
j & 1 & j \\
m_1 & -1 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{1, m_1+m_3} \cdot \frac{(-1)^{j-m_3+1}}{\sqrt{2}} \cdot 
\sqrt{
\frac{(j+m_3)(j+1-m_3)}{j (j+1) (2j+1)}
}
$
  • $j_1 -1 = j_3  = j$:
    • $m_2 = +1$:
      $
\begin{pmatrix}
j+1 & 1 & j \\
m_1 & +1 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{0, m_1+m_3+1} \cdot \frac{(-1)^{m_3 - j}}{\sqrt{2}} \cdot 
\sqrt{
\frac{(1+j+m_3)(2+j+m_3)}{ (j+1) (2j+1)(2j+3)}
}
$
    • $m_2 = 0$:
      $
\begin{pmatrix}
j+1 & 1 & j \\
m_1 & 0 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{0, m_1+m_3} \cdot {(-1)^{1- j+m_3}} \cdot 
\sqrt{\frac{(j+1-m_3)(j+1+m_3)}{(j+1) (2j+1)(2j+3)}}$
    • $m_2 = -1$:
      $
\begin{pmatrix}
j+1& 1 & j \\
m_1 & -1 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{1, m_1+m_3} \cdot \frac{(-1)^{m_3-j}}{\sqrt{2}} \cdot 
\sqrt{\frac{(j+1-m_3)(j+2-m_3)}{(j+1) (2j+1)(2j+3)}}
$

  • $j_1  = j_3 - 1 = j$:
    • $m_2 = +1$:
      $
\begin{pmatrix}
j & 1 & j +1\\
m_1 & +1 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{0, m_1+m_3+1} \cdot \frac{(-1)^{j-m_3-1}}{\sqrt{2}} \cdot 
\sqrt{
\frac{(j-m_3)(1+j-m_3)}{ (j+1) (2j+1)(2j+3)}
}
$
    • $m_2 = 0$:
      $
\begin{pmatrix}
j & 1 & j+1 \\
m_1 & 0 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{0, m_1+m_3} \cdot {(-1)^{ j+1-m_3}} \cdot 
\sqrt{\frac{(j+1-m_3)(j+1+m_3)}{(j+1) (2j+1)(2j+3)}}$
    • $m_2 = -1$:
      $
\begin{pmatrix}
j & 1 & j+1 \\
m_1 & -1 & m_3 \\
\end{pmatrix} = 
\delta_{1, m_1+m_3} \cdot \frac{(-1)^{j+1-m_3}}{\sqrt{2}} \cdot 
\sqrt{\frac{(j+m_3)(j+1+m_3)}{(j+1) (2j+1)(2j+3)}}
$

Также, на в.с. ещё и привожу C-шную функцию для этих формул:
код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис C
double w3j_sym(int j1, int m1, int sigma, int j3, int m3)
       {double res=0.0;
        int j;  

         if(j1==j3 && j1>0)
          {j=j1;

           if(sigma==1 && (m1+m3+1 == 0) )
             {res=pow(-1.0, m3-j)/sqrt(2.0);
              res*=sqrt((1.0+j+m3)*(j-m3)/(j*(1.0+j)*(1.0+2*j)));
             }

           if(sigma==0 && (m1+m3 == 0) )
             {res=pow(-1.0, m3-j)*m3;
              res/=sqrt(j*(j+1.0)*(1.0+2*j));
             }

           if(sigma==-1 && (m1+m3 == 1) )
             {res=pow(-1.0, j-m3+1)/sqrt(2.0);
              res*=sqrt((j+m3)*(j+1.0-m3)/(j*(1.0+j)*(1.0+2*j)));
             }
 
          }


         if(j1==(j3+1))
          {j=j3;

           if(sigma==1 && (m1+m3+1 == 0) )
             {res=pow(-1.0, m3-j)/sqrt(2.0);
              res*=sqrt((1.0+j+m3)*(2.0+j+m3)/((1.0+j)*(1.0+2*j)*(3.0+2*j)));
             }          

           if(sigma==0 && (m1+m3 == 0) )
             {res=pow(-1.0, 1-j+m3);
              res*=sqrt((1.0+j-m3)*(1.0+j+m3)/((1.0+j)*(1.0+2*j)*(3.0+2*j)));
             }          

           if(sigma==-1 && (m1+m3 == 1) )
             {res=pow(-1.0, m3-j)/sqrt(2.0);
              res*=sqrt((1.0+j-m3)*(2.0+j-m3)/((1.0+j)*(1.0+2*j)*(3.0+2*j)));
             }          
          }        


         if(j3==(j1+1))
          {j=j1;

           if(sigma==1 && (m1+m3+1 == 0) )
             {res=pow(-1.0, j-m3-1)/sqrt(2.0);
              res*=sqrt((j-m3)*(1.0+j-m3)/((1.0+j)*(1.0+2*j)*(3.0+2*j)));
             }          

           if(sigma==0 && (m1+m3 == 0) )
             {res=pow(-1.0, 1+j-m3);
              res*=sqrt((1.0+j-m3)*(1.0+j+m3)/((1.0+j)*(1.0+2*j)*(3.0+2*j)));
             }          

           if(sigma==-1 && (m1+m3 == 1) )
             {res=pow(-1.0, j+1-m3)/sqrt(2.0);
              res*=sqrt((j+m3)*(1.0+j+m3)/((1.0+j)*(1.0+2*j)*(3.0+2*j)));
             }          
          }        

        return res;
       }

 

 Профиль  
                  
 
 Re: Расчёт 3j-символов специального вида, когда один из j=1
Сообщение13.06.2018, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
3233
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

Математика, если ее правильно использовать и не считать, что она сама статью напишет, вещь полезная, особенно для таких рекордсменов по количеству ошибок на погонный метр формул или текста как я

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group