Очередное общее свойство.

[TR63]

Верно ли утверждение: если нечётные натуральные $(\alpha;p)$ являются решением уравнения $p^2-21\alpha^2=4$, то хотя бы одна из скобок $\{(3\alpha-p);(3\alpha+p)\}$ делится на $8$.

Задачу придумала сама (вроде, утверждение верно); можно и обобщить.

[Gagarin1968]

TR63
Разве у этого уравнения кроме двух пар решений $\alpha_{1,2}=0~~p_{1,2}=\pm2$ есть ещё какие-то целочисленные корни?

[gris]

Например, $a=5; p=23;3a-p=-8.$ А вот $a=24; p=110;$ Чётное решение, и соответствующая пара не содержит кратных $8$.
Можно обозначить $L=p-3a$.
То есть получим $L(L+6a)=4+12a^2$
А теперь обозначим $a=2k+1$ ($p$ будет нечётным автоматически).
$L(L+6(2k+1))=48k^2+48k+16=16(3k^2+3k+1)$
То есть наше произведение имеет в разложении ровно 4 двойки. И разве их можно поделить поровну?

[grizzly]

$p^2-21a^2-4=(p-3a)(p+3a)-12a^2-4=0$. Откуда, раз $4(3a^2+1)$ делится на 16 и, поскольку одна из скобок $(p-3a), (p+3a)$ делится на $2^1$, не более, то другая -- на 8. На олимпиаду не тянет

-- 13.06.2018, 13:20 --

Пусть теперь $p_1,p_2,...$ -- соответствующие $p$-части решений того уравнения (все). Доказать, что ряд обратных сходится и найти его сумму (хотя бы приближённо с хорошей точностью).

[wrest]

grizzly в сообщении #1319565 писал(а):

хотя бы приближённо с хорошей точностью

Что-то навроде $0,25496720322899$ ?
$p_1=5$
$p_2=23$
$p_n=5p_{n-1}-p_{n-2}$
Сходится по признаку Даламбера, суммируем обратные и $\lim \limits_{n \to \infty}\dfrac{p_n}{p_{n+1}}<1$

Кстати. $a$-корни находятся по той же формуле и ряд из обратных так же сходится
$a_1=1$
$a_2=5$
$a_n=5a_{n-1}-a_{n-2}$

[TR63]

grizzly в сообщении #1319565 писал(а):

поскольку одна из скобок $(p-3a), (p+3a)$ делится на $2^1$, не более,

Мне это утверждение показалось не очевидным, и я его стала доказывать так, чтобы оно и мне стало понятно. Соответственно обобщение получилось другое (школьное).

(Оффтоп)

А, вообще, такие утверждения можно тоннами гипотетически клепать. Затем стандартными способами доказывать. И осечек не будет. По крайней мере, до сих пор не было.

[grizzly]

wrest в сообщении #1319571 писал(а):

Что-то навроде $0,254967203$ ?

Точно! (Я выбирал только нечётные, как в задаче, но суть в этом).

-- 13.06.2018, 14:59 --

TR63 в сообщении #1319577 писал(а):

Мне это утверждение показалось не очевидным

Пусть $a,b$ нечётные целые. Если бы и $(a+b)$, и $(a-b)$ делились на 4, то сложив 2 скобки, получили бы, что $2a$ кратно 4, и $a$ -- чётное. Противоречие.

[TR63]

grizzly, спасибо. (Если хочешь что-то спрятать, положи на видное место. Слона я и не заметила.)
Можно ли Вашим методом найти бесконечную серию уравнений типа

$$a_n\alpha^2+4b_n=p^2$$

,

желательно максимальную, обладающую аналогичным свойством. Мой метод немного сложнее. Но он позволяет построить серию на основе свойств частного минимального решения путём экстраполяции этих свойств (и стандартного доказательства).

[kotenok gav]

TR63 в сообщении #1319635 писал(а):

Можно ли Вашим методом найти бесконечную серию уравнений

Легкотня...
$$p^2-(16m+9)a^2-4(4k)=(p-3a)(p+3a)-16a^2-16k=0$
Правда, это не все уравнения.

[TR63]

kotenok gav в сообщении #1319733 писал(а):

Правда, это не все уравнения

kotenok gav, да. Проверила. Ваша серия получается из моей. Т.е. моя серия больше. Попробуйте найти большую серию так, чтобы Ваша первая серия получалась из новой серии. Получится ли у Вас это без общей теории, не знаю.

1). Замечание.

Вопрос о существовании $(\alpha;p)$, пока не рассматриваем, чтобы не загромождать тему.

2). Замечание.

TR63 в сообщении #1319635 писал(а):

найти бесконечную серию уравнений типа

$$a_n\alpha^2+4b_n=p^2$$

,

желательно максимальную, обладающую аналогичным свойством.

Под аналогичным свойством можно понимать и такое: хотя бы одна из скобок $\{(k_l\alpha-p);(k_l\alpha+p)\}$ делится на $8$.

[TR63]

TR63 в сообщении #1319739 писал(а):

Попробуйте найти большую серию так, чтобы Ваша первая серия получалась из новой серии.

Пожалуй, в такой формулировке задача, вряд ли, решабельна.

TR63 в сообщении #1319739 писал(а):

Ваша серия получается из моей.

Это так, но при дополнительном условии: решения $(m;k)$ должны обладать общим свойством (для возможности экстраполяции). Надо исследовать свойства минимального решения $(m;k)$. Надо ввести общее свойство для $(\alpha;p)$. Они, например, не должны быть пифагоровыми. Тогда исключается пара $(m;k)=(1;1)$. Они должны существовать. Тогда исключается пара $(2;1)$. Стартуем с пары $(3;1)$. Т. е. общее свойство может иметь вид $m=3k$.

Вот, теперь задача решабельна, если решение существует. А оно существует. Например:

$$[(4n-1)^2+4(m_1-n)(4n-1)]\alpha^2+4(m_1-n)=p^2$$

$4n-1=3$

$m_1-n=4k$

$$(9+16\cdot3k)\alpha^2+4(4k)=p^2$$

Теперь вопрос, как логически прийти к такому решению, а не методом тыка. Есть ещё ряд вопросов, но они сложнее.