Колесо с приводными ремнями

[ESN]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться с физикой явления.

Задача 1.33 из гл. 2 задачника под ред. О.Савченко:

Колесо радиуса $R$ может свободно вращаться вокруг оси. К боковой плоскости колеса на расстоянии $h$ от оси вращения прижимаются приводные ремни, движущиеся со скоростью $v$. Определите установившуюся угловую скорость колеса.

Ответ задачника: $\omega_0=\frac{vh}{R^2}$.

Т.е. линейная скорость обода равна касательной составляющей скорости приводного ремня в точке касания с ободом. Ответ понятен, если касание с ремнём происходит только на ободе. В этом случае сила трения направлена по радиусу и момент её относительно оси вращения нулевой. А что происходит, если касание имеет место по всей длине соответствующей хорды? У меня выходит, вроде, что сила трения имеет положительный момент во всех прочих точках хорды. Если угловая скорость колеса больше $\omega_0$, то сила трения на ободе будет иметь уже отрицательный момент, а нулевой - на расстоянии $r=\sqrt{\frac{vh}{\omega}}$. На расстоянии от центра меньшем $r$ момент положителен. По идее, если колесо крутится равномерно, суммарный момент должен быть нулевым. Не пойму, как посчитать этот суммарный момент.

И как на самом деле будет происходить движение в случае касания по всей длине хорды?

Заранее благодарен!

[Munin]

ESN в сообщении #1318651 писал(а):

Не пойму, как посчитать этот суммарный момент.

Проинтегрировать.

Если вы можете найти, как он распределён по длине хорды - то можно и элементарными средствами, и даже графически.

-- 10.06.2018 13:48:19 --

ESN в сообщении #1318651 писал(а):

Задача 1.33 из гл. 2 задачника под ред. О.Савченко

Задача 2.1.33 - ничего похожего, и вообще в главе 2 этой задачи не нашёл. (Искал, может быть, есть рисунок.) Смотрел издания 1999 и 2001 годов (3 и 4; 2008 - репринт 1999).

[pogulyat_vyshel]

ESN в сообщении #1318651 писал(а):

если касание с ремнём происходит только на ободе.

в моем очень старом издании есть эта оговорка

[ESN]

Цитата:

Задача 2.1.33 - ничего похожего, и вообще в главе 2 этой задачи не нашёл. (Искал, может быть, есть рисунок.) Смотрел издания 1999 и 2001 годов (3 и 4; 2008 - репринт 1999).

Задачи по физике, М.Наука, 1981, с.85.

-- 10.06.2018, 14:05 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1318666 писал(а):

ESN в сообщении #1318651 писал(а):

если касание с ремнём происходит только на ободе.

в моем очень старом издании есть эта оговорка

Мое издание 81 года. Рисунок заставляет думать, скорее, о диске, а не о колесе со спицами и ободом. В любом случае, остается вопрос, с какой скоростью будет вращаться колесо, если касание по всей плоскости.

[pogulyat_vyshel]

ESN в сообщении #1318669 писал(а):

В любом случае, остается вопрос, с какой скоростью будет вращаться колесо, если касание по всей плоскости.

а в чем собственно проблема, теорему об изменении кинетического момента написать для диска? сила трения, действующая на точку диска направлена противоположено относительной скорости этой точки

-- 10.06.2018, 15:15 --

ну еще дополнительные предположения понадобятся, что ,скажем, во всех точках сила трения одинакова по модулю и модуль известен, что ремни не оттягиваются силой трения

[Munin]

Нашёл под номером 2.8.37*:

Цитата:

◊ 2.8.37*. Колесо радиуса $R$ может свободно вращаться вокруг своей оси. К боковой поверхности колеса на расстоянии $h$ от оси вращения прижимаются приводные ремни, движущиеся со скоростью $v.$ Определите установившуюся угловую скорость колеса, если соприкосновение его с приводным ремнем происходит только по ободу.

-- 10.06.2018 14:19:32 --

ESN в сообщении #1318669 писал(а):

Мое издание 81 года. Рисунок заставляет думать, скорее, о диске, а не о колесе со спицами и ободом.

В новом издании формулировка однозначна.

-- 10.06.2018 14:22:15 --

Если это:

pogulyat_vyshel в сообщении #1318677 писал(а):

сила трения, действующая на точку диска направлена противоположено относительной скорости этой точки

сложно, то можно мысленно разделить колесо на множество ободов, и считать трение об обод, как вы уже проделали.

[fred1996]

ESN
Это скорее даже геометрическая задачка на умение работать с векторами.
Последовательность рассуждений такая:
1. Выбираете маленький кусочек ремня с известными координатами.
2. Считаете направление вектора скорости кусочка.
3. Считаете направление вектора скорости относительно ремня. Это вам даст направление силы трения
4. Зная координату кусочка и направление силы вычисляете значение момента этой силы
5. Интегрируете, считая силу пропорциональной длине кусочка.

И спасибо за задачку. Надо взять на вооружение. Что-то раньше мне эта задачка не попадалась.

[ESN]

fred1996 в сообщении #1318723 писал(а):

ESN
5. Интегрируете, считая силу пропорциональной длине кусочка.

Спасибо за этот план. Я его уже выполнил до четвертого пункта. Проблема с пятым. Я не сообразил, что сила трения, а следовательно, и момент её, должна быть пропорциональна длине. Сейчас попробую. Всё прочее готово.

[ESN]

Так, вроде получилось следующее:
Момент, создаваемый элементом ремня равен
$\frac{(vh-\omega r^2)ds}{\sqrt{\omega^2r^2+v^2-2\omega v h}}$. (Полагаем удельную силу трения равной единице, поскольку она везде одинаковая)
Интегрируем, приравниваем к нулю. После всяких замен имеем уравнение:

$\ln(\theta+\sqrt{1+\theta^2})-\frac{\theta\sqrt{1+\theta^2}}{1+2k\theta}=0$,

где $\omega$ связана с $\theta$ соотношением $\omega=\frac{v\theta}{S+\theta h},$ а $k=h/\sqrt{R^2-h^2}$.

Видимо, теперь нужно рассмотреть случай, когда колесо не диск, а кольцо ненулевой ширины, и проверить, будет ли в пределе получаться $\omega_0$ из задачника.

[ESN]

$S=\sqrt{R^2-h^2}$ - длина полухорды.