Развёртки

[ewert]

Ещё одна деццкая задачка (но не совсем).

Дан правильный тетраэдр. Требуется разрезать его поверхность так, чтобы получилась плоская развёртка, и чтобы суммарная длина разрезов была бы при этом как можно меньше. (Тривиальный способ -- разрезать по каким-нибудь трём рёбрам, но он не оптимален.)

Потом можно попробовать разрезать октаэдр или куб (для следующих многогранников уже нудно, и никаких закономерностей не просматривается). Для кубика результат оказывается несколько неожиданным -- в том смысле, что не экстраполируется от предыдущих.

-------------------------------------------
Автор: Юрий Николаевич Демков.

[Юстас]

Можно разрезать по ребру и двум высотам, опущенным на это ребро из вершин. А как доказывать оптимальность - вопрос.

[ewert]

Юстас писал(а):

Можно разрезать по ребру и двум высотам, опущенным на это ребро из вершин. А как доказывать оптимальность - вопрос.

можно; но можно и лучше.

[Архипов]

Можно разрезать по высоте и ребру, на которое высота опущена. Тогда две получившиеся грани можно сложить "гармошкой" и прижать к основанию. Хоть и не классическая развертка будет, но все грани улягутся в одной плоскости.

[ewert]

Архипов писал(а):

Можно разрезать по высоте и ребру, на которое высота опущена. Тогда две получившиеся грани можно сложить "гармошкой" и прижать к основанию. Хоть и не классическая развертка будет, но все грани улягутся в одной плоскости.

Нет, это жульничество. Развёртка должно быть буквально плоской, без складок. Чтобы можно было вырезать фигурку из листа бумаги и затем склеить тетраэдр.

[ИСН]

Это из той же оперы, что всякие задачи о пауках, мыльных плёнках, etc. Вкратце: все линии должны сходиться под углами в $120^\circ$ (то есть, в частности, не должны сходиться по четыре). То есть в решении Юстаса надо точку схождения линий расщепить на две, которые сдвинуть на разные грани...

[ewert]

ИСН писал(а):

Это из той же оперы, что всякие задачи о пауках, мыльных плёнках, etc. Вкратце: все линии должны сходиться под углами в $120^\circ$ (то есть, в частности, не должны сходиться по четыре). То есть в решении Юстаса надо точку схождения линий расщепить на две, которые сдвинуть на разные грани...

Ну т.е. более формализованно -- задача о минимальной дорожной сети. Верно. Осталось только сосчитать это минимальное расстояние (задачка хоть и вполне школьная, но и не совсем банальная).

И потом -- ещё раз рекомендую прикинуть, как там насчёт октаэдра и кубика.

[Spook]

А что за задача о минимальной дорожной сети?

[ewert]

Spook писал(а):

А что за задача о минимальной дорожной сети?

ну, есть несколько точек на плоскости, и надо соединить их дорогами так, чтоб суммарная длина дорог была бы как можно меньше