Найти силовские 2-подгруппы в группе S4

[unc1es4m]

Добрый день!

Есть задача найти все силовские подгруппы в $A_4$ и $S_4$
Проблем с $A_4$ не возникло, легко найти все 3-подгруппы (их 4 штуки), они циклические и образованы циклами длины 3.
И единственную 2-подгруппу: понятно, что в $A_4$ содержится группа Клейна, т. е. $V_4 = \left\lbrace e, (12)(34), (13)(24), (14)(23) \right\rbrace$ (в циклической записи).
В $S_4$ все те же 3-подгруппы, что и в $A_4$, т. к. все перестановки порядка 3 - чётные.

А вот с 2-подгруппами в $S_4$ проблема: не приложу ума, что делать. Знаю, что их должно быть либо 1 либо 3 штуки (по 3-й теореме Силова). Знаю, что если такая подгруппа одна, то она нормальная, знаю, что если их 3, то индекс нормализатора любой из них равен 3 (В данном случае это значит, что нормализатор совпадает с подгруппой, т.к. его порядок $\frac{24}{3} = 8$). Так же знаю что у любой из них есть нормальная подгруппа порядка 4. Что делать с этими фактами, не знаю. Где-то в интернете нашёл, что подгрупп должно быть 3 штуки: $H_i = Z(v_i), v_i \ne e, v_i \in V_4$, но не понимаю, почему это так. Подскажите, пожалуйста.

Спасибо!

[vpb]

В $S_4$ так мало элементов, что там все, что взбредет в голову, можно посчитать руками.
Непосредственно, без всяких затей, перечислите все элементы, перестановочные с $(12)(34)$.

Есть еще такое правило (докажите): если $a$ и $b$ --- две перестановки, то разложение элемента $a^b=bab^{-1}$ в циклы можно получить, если взять разложение в циклы для $a$ и заменить в нем все цифры с помощью перестановки $b$. Например, пусть $a,b\in S_5$, $a=(123)$, $b=(134)(25)$, тогда, чтоб получить разложение для $a^b$, заменяем в записи $a=(123)$ цифру $1$ на $3$, $2$ на $5$, $3$ на $4$. Получаем $(354)$. Это и есть $bab^{-1}$, в чем можно убедиться непосредственно (при этом принимается соглашение, что перестановки перемножаются справа налево).

[unc1es4m]

vpb в сообщении #1318407 писал(а):

В $S_4$ так мало элементов, что там все, что взбредет в голову, можно посчитать руками.
Непосредственно, без всяких затей, перечислите все элементы, перестановочные с $(12)(34)$.

Да, я это и сделал. Видимо, не совсем правильно поставил вопрос. Исходя из каких рассуждений следует, что

unc1es4m в сообщении #1318399 писал(а):

подгрупп должно быть 3 штуки: $H_i = Z(v_i), v_i \ne e, v_i \in V_4$

Почему подгрупп 3, а не 1, и почему они именно такого вида?

[vpb]

unc1es4m в сообщении #1318416 писал(а):

Да, я это и сделал

Тогда не вполне понятно, в чем проблема. Приведите список этих элементов. Понятно ли, что они составляют подгруппу, и почему ?

[unc1es4m]

vpb в сообщении #1318433 писал(а):

unc1es4m в сообщении #1318416 писал(а):

Да, я это и сделал

Тогда не вполне понятно, в чем проблема. Приведите список этих элементов. Понятно ли, что они составляют подгруппу, и почему ?

Для $(12)(34)$ это $V_4 \cup \left\lbrace(34), (12), (1324), (1423)\right\rbrace$. Я вижу, что это множество замкнуто относительно операции произведения. То есть, построив его, могу убедиться, что это подгруппа. Но мне не понятно, почему мы должны искать множества именно такого вида изначально (то есть вида $Z((12)(34))$)

[vpb]

Есть такая теорема: любая $p$-группа имеет нетривиальный центр. Отсюда следует, что в любой 2-группе есть элемент порядка 2, лежащий в ее центре. Поэтому вполне естественно взять какой-то элемент порядка 2 и посмотреть, каков его централизатор.

[unc1es4m]

Спасибо!

[VAL]

Добавлю,что на здешнем форуме (умело) пользуется заслуженным уважением великий древнегреческий математик Диэдр
Так вот, силовские подгруппы порядка 8 группы $S_4$ - это группы диэдра.

[Munin]

Кстати,
https://en.wikiversity.org/wiki/Symmetric_group_S4
очень красивая страничка...