Очередное неравенство

[SomePupil]

Доказать, что при $x, t \in \mathbb R, t > 0$ выполняется неравенство

$$xt \leq e^x + t \ln{\frac te}\;.$$

[pogulyat_vyshel]

шутить изволите
$t=e^\xi,\quad x-\xi\le e^{x-\xi}-1$