Вопрос о длине отрезка.

[JohnnyIpcom]

В одном "кухонном споре" людей, которые учили математику, но это было давно и неправда, возник такой вопрос. Интересует, что почитать на эту тему, желательно чтобы для понимания этого не пришлось читать другие 30 книг и снова идти в универ. Да и просто ответ интересует.

Имеем отрезок числовой прямой [0, 1] длины 1. Из этого отрезка мы выбрасываем некое счётное множество точек. В споре было другой отрезок(да и вообще, там был круг единичного радиуса) и другое множество, я же предлагаю просто выбросить все точки с рациональной координатой. Какая будет длина оставшегося кусочного отрезка? 1? Или всё-таки 0? Как вообще в таком случае определяется понятие "длина"? Взяв любую точку на отрезке, мы получим, что в любой её окрестности есть бесконечного много "дырок", следовательно нельзя вводить длину, как сумму длин. А дальше?

Ну и вопрос со звёздочкой. Можно ли составить такое не счётное и не конечное множество, после выбрасывания которого из отрезка, длина оставшегося кусочного отрезка (опять же, что такое длина в данном случае) останется равна 1? Любое число от 0 до 1 - очевидно, просто выбросим подотрезок лишней длины, а вот чтобы ровно 1 получилось?

[mihaild]

Вам нужна так называемая мера Лебега - почитайте, например, про нее статью на википедии. Если совсем на пальцах - если множество можно покрыть интервалами небольшой суммарной длины, то оно само имеет небольшую меру. А если мы выкинули из отрезка множетсво небольшой меры - то оставшееся имеет меру почти как весь отрезок.

Более точно - посмотрите строгие формулировки (они на самом деле довольно простые), и подумайте, какой может быть мера счетного множества.
Второй вопрос чуть интереснее, ответ на него, если не получится придумать самостоятельно, можно найти, например, в "Контрпримерах в анализе".

[Mikhail_K]

JohnnyIpcom в сообщении #1317651 писал(а):

Имеем отрезок числовой прямой [0, 1] длины 1. Из этого отрезка мы выбрасываем некое счётное множество точек. Какая будет длина оставшегося кусочного отрезка?

Для подобных "сложных" множеств ввести понятие длины возможно, оно называется - мера Лебега. О ней можно подробно прочитать в учебниках действительного и функционального анализа (но обычно это довольно сложные учебники), но можно также заглянуть в Википедию.

Мера Лебега обладает сигма-аддитивностью (счётной аддитивностью). Это значит, что мера объединения счётного количества непересекающихся множеств равна (бесконечной) сумме мер этих множеств. Каждая точка (а точнее, одноточечное множество) имеет меру (т.е. длину), равную нулю. Поэтому счётное множество точек будет иметь меру $0+0+0+\ldots=\sum\limits_{k=1}^\infty 0=0$. Да, "сумма счётного количества нулей" обязательно равна нулю, как можно легко понять из определения бесконечного ряда (кстати, найдите это определение и разберитесь, почему так). Поэтому, если мы выбросим из отрезка длиной $1$ счётное множество (например множество точек с рациональными координатами), то оставшееся множество будет иметь меру $1-0=1$.

JohnnyIpcom в сообщении #1317651 писал(а):

Ну и вопрос со звёздочкой. Можно ли составить такое не счётное и не конечное множество, после выбрасывания которого из отрезка, длина оставшегося кусочного отрезка (опять же, что такое длина в данном случае) останется равна 1?

Погуглите про канторово множество.

[mihaild]

Mikhail_K в сообщении #1317654 писал(а):

мера объединения непересекающихся множеств равна (бесконечной) сумме мер этих множеств

Всё-таки ИМХО тут не нужно забывать про счетность.

[Mikhail_K]

mihaild в сообщении #1317655 писал(а):

Всё-таки ИМХО тут не нужно забывать про счетность.

Безусловно. Исправил.

Хотя, нужно сказать, что для несчётного количества непересекающихся множеств такое утверждение просто не будет иметь смысла, так как непонятно что такое несчётная сумма чисел (мер этих множеств).

Если совсем строго подходить, то и про измеримость этих непересекающихся множеств не нужно забывать. Но это уже точно излишнее уточнение будет здесь.

[JohnnyIpcom]

Mikhail_K в сообщении #1317654 писал(а):

Поэтому счётное множество точек будет иметь меру $0+0+0+\ldots=\sum\limits_{k=1}^\infty 0=0$. Да, "сумма счётного количества нулей" обязательно равна нулю, как можно легко понять из определения бесконечного ряда (кстати, найдите это определение и разберитесь, почему так).

Ну это вроде легко и это я ещё немного помню. Сумма бесконечного ряда определяется как предел частичных сумм, а тут они все тождественно равны $0$. А вот функциональный анализ я благополучно проспал больше 10 лет назад) И даже не сильно жалею об этом... Хотя вот спор такой у нас нечаянно возник.

UPD: Полистав википедию, понял, что спор я не выиграл и не проиграл... Мой ответ был "не имеет длины", а объяснение было весьма похоже на "кухонное" определение меры Жордана...

[DeBill]

Mikhail_K в сообщении #1317656 писал(а):

непонятно что такое несчётная сумма чисел

Ну, она определена корректно, если (почти) все они - числа - нули.
Так что, удалив из отрезка несчетное множество нулевой меры Лебега (например, множество Кантора), получим в остатке множество полной меры...