Линейность, стационарность и детерминированность системы

[Knight7]

Есть некая дискретная система отклик которой описывается линейным разностным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами:

$$y[n] = 2 y[n-1] - 2 y[n-2] + 10 x[n] + 5 x[n-1]$$

(без начальных условий).
Нужно определить является ли она линейной, стационарной, причинной и имеет ли она память.

Очевидно, что у нее есть память, ведь выход зависит от прошлых значений входного сигнала ($x[n-1]$). Если не ошибаюсь, она также причинная, ибо нет никакой зависимости от сигналов в будущем. Линейность и стационарность тоже, вроде, очевидна (сумма входных сигналов дает сумму на выходе). Однако в книге Цифровая обработка сигналов Оппенгейма утверждается, что без условия о состоянии покоя в начальном положении, нет никакой гарантии, что система (описываемая линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами) будет причинной и стационарной (инвариантной во времени) линейной системой. Где моя ошибка?

[DimaM]

Knight7
То ли в уравнении опечатки, то ли вообще неизвестно, как меняется $x$.

[profrotter]

Возможно в книге речь идёт о том, что дискретные системы, описываемые линейным разностным уравнением, рассматриваемые безотносительно требования нулевых начальных условий (состояния покоя до воздействия) могут и не удовлетворять, например, принципу суперпозиции. Ну, действительно, рассматриваем воздействие одного сигнала при одних начальных условиях, затем воздействие другого сигнала при других начальных условиях, после чего смотрим на отклик этой же системы при третьих... Связано это элементарно с тем, что решение разностного уравнения единственно только при заданных начальных условиях, то есть заданию только одного разностного уравнения сопутствует неопределённость, связанная с произвольным выбором начальных условий.

[realeugene]

Речь в книге идёт о том, что можно в рассматриваемое уравнение подставить $x[n] \equiv 0$, получив линейное разностное уравнение $y[n]-2 y[n-1] +2 y[n-2]=0$. У этого уравнения помимо нулевого решения существуют и ненулевые решения. Будет ли линейной, стационарной и причинной дискретная система, отклик которой при нулевом входе окажется ненулевым, найденным при решении этого уравнения? Эта система удовлетворяет исходному дискретному уравнению.

[dsge]

Knight7 в сообщении #1316920 писал(а):

стационарность тоже, вроде, очевидна (сумма входных сигналов дает сумму на выходе).

Вы уверены? Какие у системы будут условия стационарности? По поводу стационарности есть сомнения.

Knight7 в сообщении #1316920 писал(а):

Линейность, стационарность и детерминированность системы

Непонятно как радиотехники определяют детерминированность, но в общем случае если процесс $x[n]$ детерминирован, то и $y[n]$ детерминирован, если $x[n]$ стохастичен. то и $y$ такой же.

[realeugene]

dsge в сообщении #1317171 писал(а):

Непонятно как радиотехники определяют детерминированность

Вопрос был про детерминированность линейность, стационарность и причинность системы, а не процесса. При этом, про детерминированность упоминается только в заголовке темы, но не в самом вопросе, под причинностью, очевидно, подразумевается физическая реализуемость, а под стационарностью - инвариантность к сдвигу. Если пользоваться терминологией из Оппенгейма и Шафера.

Система - это оператор, отображающий пространство входных последовательностей в пространство выходных, по определению.

[dsge]

realeugene в сообщении #1317174 писал(а):

под причинностью, очевидно, подразумевается физическая реализуемость, а под стационарностью - инвариантность к сдвигу.
Система - это оператор, отображающий пространство входных последовательностей в пространство выходных, по определению.

Как все сложно. Незамысловатую ARMA(2,1) представить так мудрено.

[realeugene]

dsge в сообщении #1317176 писал(а):

Как все сложно. Незамысловатую ARMA(2,1) представить так мудрено.

Это не ARMA! $x[n]$ не обязан быть белым шумом.

[Knight7]

DimaM в сообщении #1317132 писал(а):

То ли в уравнении опечатки, то ли вообще неизвестно, как меняется $x$.

Тут произвольная входная последовательность. Уравнение лишь описывает отклик системы для любого входа (правда, описание неполное ибо отсутствуют начальные условия).

dsge в сообщении #1317171 писал(а):

Вы уверены? Какие у системы будут условия стационарности? По поводу стационарности есть сомнения.

По определению стационарности: если $y[n]$ отклик при $x[n]$ то $y[n-n_0]$ отклик при $x[n-n_0]$ ($x[n]$ - любая входная последовательность, $n_0$ - произвольное целое число). Доказательство приведено здесь.

dsge в сообщении #1317171 писал(а):

Непонятно как радиотехники определяют детерминированность, но в общем случае если процесс $x[n]$ детерминирован, то и $y[n]$ детерминирован, если $x[n]$ стохастичен. то и $y$ такой же.

Имеется в виду causality: отклик системы в любой момент времени зависит только от входа до данного момента. В данном уравнении нет $x[n+1],x[n+2],..$, поэтому я сделал вывод о детерминированности. Однако, у того же Оппенгейма есть следующая интересная задача:

То есть даже если в уравнении нет зависимости от будущих входных значений это еще не значит, что она детерминирована (в последнем примере она нарушается когда накладывается начальное условие $y[0]=0$).

realeugene в сообщении #1317158 писал(а):

У этого уравнения помимо нулевого решения существуют и ненулевые решения

Действительно, речь идет об однородном решении исходного уравнения. Если не ошибаюсь, оно имеет вид $y[n]=C \alpha^n$ где $\alpha$ - решение характеристического уравнения.

realeugene в сообщении #1317158 писал(а):

Будет ли линейной, стационарной и причинной дискретная система, отклик которой при нулевом входе окажется ненулевым, найденным при решении этого уравнения?

Интересный вопрос. Если я правильно понимаю, в таком случае, значение отклика фиксировано для любого $n$. Тогда нарушается линейность, ведь иначе $2 x[n] \to 2 y[n]$, но тогда $2 \cdot 0 = 0 \to 2 \cdot y[n] \neq 0$, что противоречит вышесказанному. Со стационарностью и причинностью чуть сложнее - надо подумать.

[realeugene]

Knight7 в сообщении #1317402 писал(а):

Если не ошибаюсь, оно имеет вид $y[n]=C \alpha^n$ где $\alpha$ - решение характеристического уравнения.

Не всё так просто. У этой системы пара неустойчивых сопряженных полюсов. Но одно из действительных однородных решений можно легко найти делением: 0, 1, 2, 2, 0, -4, -8, -8, 0 ... Второе независимое решение можно получить сдвигом этой последовательности на 1 отсчёт.