Нахождение весовой функции дифференциального уравнения

[Gargantua]

Здравствуйте. Необходимо найти весовую функцию системы ОДУ второго порядка

$$ x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=f(t). $$

По определению весовая функция - это реакция системы на возмущение дельта-функцией при нулевых начальных условиях

$$ x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=\delta(t), \quad x(0)=0, x'(0)=0. $$

В одном источнике увидел, что вместо задачи с дельта-функцией можно решать однородную задачу с единичным н.у.

$$ x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0, \quad x(0)=0, x'(0)=1. $$

Верно ли это? Если да, то как сделать такой переход?

[DeBill]

Gargantua
У Вас, видимо, опечатка (не хватат множителя $x(t)$ при $b$)
А фундаментальное решение (то бишь, Вашу весовую функцию), действительно, можно найти по указанному рецепту (только решение с такими н.у. надо умножить на Тэту (функцию Хевисайда). Короче, положить равной нулю при отрицательных $t$)

[Gargantua]

DeBill
Спасибо. Опечатку исправил. В принципе, для задач с потоянными коэффициентами эквивалентность следует, если перейти к изображениям по Лапласу. Для неавтономного случая, наверное, каким-то схожим способом поступают.

[DeBill]

Да все проще: надо взять, да и подставить в дифур: оно и получится...

[novichok2018]

Не очень чего найдёшь любым операционным методом для ДУ с переменными коэффициентами. Внутренняя причина-для интегральных преобразований нет формул преобразования произведения двух функций. А свёртка тут бесполезна. Так что только в теории всё хорошо.

[Singular]

Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М: Мир. Москва, 1965. пер. с англ. Hörmander L. Linear Partial Differential Operators. Springer. 1963.


Не всякое дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами имеет решение.

-- Вс июн 03, 2018 12:35:50 --

Gargantua в сообщении #1316935 писал(а):

В одном источнике увидел, что вместо задачи с дельта-функцией можно решать однородную задачу с единичным н.у.

$$ x''(t)+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0, \quad x(0)=0, x'(0)=1. $$

Верно ли это? Если да, то как сделать такой переход?

Надо искать решение в виде $z\left(t\right)=\theta\left(t\right)x\left(t\right)$, где $\theta\left(t\right)$ - функция Хевисайда. Соответственно $z'\left(t\right)=\delta\left(t\right)x\left(0\right)+\theta\left(t\right)x'\left(t\right)$ и $z''\left(t\right)=\delta'\left(t\right)x\left(0\right)+\delta\left(t\right)x'\left(0\right)+\theta\left(t\right)x''\left(t\right)$ подставив в уравнение с правой частью $\delta\left(t\right)$, записав выражения при $\theta\left(t\right),\,\delta\left(t\right),\,\delta'\left(t\right)$, получим то, что Вы привели выше.

[novichok2018]

То которое написано в топике-имеет. Не пугайте нас. И ваш факт по ссылке он специфичен. Можно взять уравнение, в котором сумма квадратов любых производных равна минус единице - и не будет решения. Теорема Леви в книге Хермандера - экзотический пример для комплексных решений.