Угол наклона к горизонту ствола орудия

[FermaYails]

Добрый день, товарищи!
Есть такая задача:
Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии 10,0 км, если начальная скорость снаряда 500 м/с? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решая ее можно применить формулу для расстояния при баллистическом движении.
$\ell = \frac{(\mathbf{v})^2 (\sin 2x)}{g}$
$\sin 2x = \frac{(\ell) (g)}{(\mathbf{v})^2}$
$2 (\sin x) (\cos x) = \frac{(\ell) (g)}{(\mathbf{v})^2}$
х - искомый угол.
Выражаем соответственно синус.
$x = \frac{\arcsin\frac{(\ell) (g)}{(\mathbf{v})^2}}{2} = 11,785$ градусов
и $x = \frac{\pi - \arcsin\frac{(\ell) (g)}{(\mathbf{v})^2}}{2} = 168,215 $ градусов
Другим способом:
$ \sqrt{(1 - (\cos x)^2) (\cos x)^2} = \frac{(\ell) (g)}{2 (\mathbf{v})^2}$
Как квадратное решаем и дальше:
$x = \pm\arccos (\pm\sqrt{0,5 + (\frac{\sqrt{21}}{10})}) $
Т.е. можно искать угол, оставив просто синус двойного угла в формуле, а можно расписать синус двойного как удвоенное произведение синуса на косинус. Так вот в первом случае у меня получается два ответа, а во втором восемь. В ответе к задачнику написано два угла 11,5 и 78,5 градусов.
Решая через двойной угол, я получаю только первый ответ, но по сути оба решения должны быть эквивалентны. И вообще почему ответов неравное количество.
Подскажите, где я заблуждаюсь, пожалуйста.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- собственные содержательные попытки решения задачи надо изложить полностью, по имеющимся данным сказать, где ошибка, невозможно.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 02.06.2018, 19:13 --

FermaYails в сообщении #1316842 писал(а):

и $x = \frac{\pi - \arcsin\frac{(\ell) (g)}{(\mathbf{v})^2}}{2} = 168,215 $ градусов

Пересчитайте последнее значение еще раз.

-- 02.06.2018, 19:20 --

FermaYails в сообщении #1316842 писал(а):

И вообще почему ответов неравное количество.

Потому что у задачи есть физический смысл, про который Вы иногда вспоминаете, а иногда - нет. Например, обнаружив, что $\sin 2x \approx 0.4$, Вы в первом решении почему-то рассматриваете только два возможных значения $2x$ (а не счетное множество возможных вариантов, получающихся из предыдущих прибавлением и отниманием $360^\circ$), а вот во втором отрицательные углы Вас не смущают.

[FermaYails]

Pphantom в сообщении #1316907 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 02.06.2018, 19:13 --

FermaYails в сообщении #1316842 писал(а):

и $x = \frac{\pi - \arcsin\frac{(\ell) (g)}{(\mathbf{v})^2}}{2} = 168,215 $ градусов

Пересчитайте последнее значение еще раз.

-- 02.06.2018, 19:20 --

FermaYails в сообщении #1316842 писал(а):

И вообще почему ответов неравное количество.

Потому что у задачи есть физический смысл, про который Вы иногда вспоминаете, а иногда - нет. Например, обнаружив, что $\sin 2x \approx 0.4$, Вы в первом решении почему-то рассматриваете только два возможных значения $2x$ (а не счетное множество возможных вариантов, получающихся из предыдущих прибавлением и отниманием $360^\circ$), а вот во втором отрицательные углы Вас не смущают.

Ух, большое спасибо!
А то я завис над решением.