О центре масс

[wrest]

(misha.physics, офтоп делается как-то вот так)

[off="Об отображении формул"]
Текст  офтопа
[/off]

[misha.physics]

Ещё продолжу о том, что у меня вызвало беспокойство то, что мы суммируем силы, приложенные к разным точкам. Кажется, я уже лучше это понял.



Есть два тела (шары) одинаковой массы $m$. Пусть они не взаимодействуют между собой и плавают где-то в вакууме. Точкой обозначен их центр масс. Имеются две внешние силы $\boldsymbol{F}_1$ и $\boldsymbol{F}_2$. Так как мы можем складывать эти силы перемещая их параллельно самим себе, то мы можем приложить их к шарам как хотим (хотя это формально так, а на самом деле реализируется какой-то один вариант). От этого движение ихнего ц. м. не должно изменится. Уравнение движения точки ц. м. с радиус-вектором $\boldsymbol{R}$:

$$\boldsymbol{F}_1+\boldsymbol{F}_2=\frac{d^2}{dt^2}(2m\boldsymbol{R})$$

Т. е. точка ц. м. будет двигаться так, как бы двигалось какое-то тело массы $2m$ (с радиус-вектором $\boldsymbol{R}$), на которое действует сила $\boldsymbol{F}_1+\boldsymbol{F}_2$. Значит во всех трех случаях, изображенных на рисунке, точка ц. м. будет двигатся одинаковым образом. И так, как сила $\boldsymbol{F}_1+\boldsymbol{F}_2$ направлена вправо, значит точка ц. м. будет двигаться вправо. На всех трех картинках. Просто на первый взгляд мне было в это трудно поверить. Ведь сама система будет двигаться "по-разному". На первых двух картинках будем наблюдать вращение в одну сторону, а на третьей в противоположную. Наверное, поэтому меня и смутило, что когда мы суммируем все силы, то мы никак не учитываем к каким телам они были "на самом деле" приложены. Значит, если нас интересует движение только ц. м. то мы можем прикладывать эти силы $\boldsymbol{F}_i$ к каким угодно телам системы. Правильно? Просто удивительно что это действительно так имеет место в природе. Мне было мало одних математических рассуждений, что складывая векторы, мы можем двигать их параллельно самим себе.

И ещё интересен один частный случай. Если $\boldsymbol{F}_1=-\boldsymbol{F}_2$, то на первой картике система вообще не будет двигаться, на 2-й она будет вращаться против часовой стрелки, а на 3-й - по часовой стрелке. Но во всех случаях видно, что ц. м. будет вести себя одинаково. Он будет неподвижен. (Предположим, что он изначально покоился.) То есть он будет удовлетворять условию:

$$\frac{d^2}{dt^2}(2m\boldsymbol{R})=0$$

-- 01 июн 2018, 01:29 --

И ещё я понял, что был неправ, когда говорил, что суммарная внешняя сила приложена к центру масс. Ведь может, например, случится, что эта точка будет вне тела. Это будет просто точка в пространстве. Как мы тогда сможем приложить к ней какую-то силу Значит лучше так не говорить.

[misha.physics]

P. S. Ой, там где я везде говорю о "вращении системы двух шаров", то я немного неточно выразился. Они ведь не связанны друг с другом. (Я просто сначала хотел сделать чтобы они были скрепленны чем-то, но потом захотел ещё больше упростить явление.) Они бы "вращались" вокруг своего ц. м. если были бы скрепленны чем-то вместе (стержнем). А так-то под "вращением" можно понимать вращательное движение отрезка прямой (длина которого постоянно возрастает) соединяющего центры этих шаров. Это даже не вращение, а поворачивание. Но поворачивание за и против часовой стрелки здесь имеет смысл.

-- 01 июн 2018, 02:41 --

А вот и геометрические рассуждения

[Munin]

misha.physics в сообщении #1316629 писал(а):

Ещё продолжу о том, что у меня вызвало беспокойство то, что мы суммируем силы, приложенные к разным точкам.

Здесь есть некоторый "призрак прошлого" в преподавании физики.

Когда-то давно в курсе механики рассказывали, что как будто "есть разные разновидности векторов (понимаемых как отрезок со стрелочкой):

- одни можно переносить как угодно в пространстве;
- другие можно переносить только вдоль той линии, по которой они действуют;
- третьи нельзя переносить вообще."

И что, мол, сила - это вектор второго типа.

На сегодня, это полный бред, который лучше забыть. Вектор - это математическое понятие, вводят его математики, а не физики. Вектор:

- на самом деле живёт в своём отдельном векторном пространстве, где все векторы отложены от точки начала отсчёта;
- в нашем пространстве (без начала отсчёта) его можно отложить от любой точки, и это будет один и тот же вектор; соответственно, и переносить его можно как угодно.

При этом, надо внести поправку в понятие силы:

Сила - это физическая величина, которая характеризуется (как минимум) двумя вещами: вектором силы, и точкой приложения.

Разумеется, как и везде в физике, допускаются вольности речи, когда вместо "вектор силы" говорят просто "сила", но их надо понимать правильно.

----------------

Теперь надо понять такую вещь: в разных физических законах участвуют разные "составляющие" силы. В одних физических законах учитывается вектор силы. А в других - ещё учитывается и точка приложения силы. В общем, первые игнорируют вращение, а вторые как раз анализируют его. Ещё точку приложения силы используют, например, при расчёте давления на поверхность.

Так что, когда мы записали систему уравнений

$$\biggl\{\,\,\mathbf{F}_i=m_i\dfrac{d^2\mathbf{r}_i}{dt^2},$$

мы уже добровольно отказались от учёта точек приложения сил. И разумеется, после этого векторы сил мы можем переносить как угодно и куда угодно. (А с точками приложения сил будут записаны другие уравнения, в которых будут фигурировать моменты сил $\mathbf{M}_i=[\mathbf{r}_i\mathbf{F}_i].$)

Может быть, такое рассуждение вас убедит.

-- 01.06.2018 12:02:57 --

P. S. Рад, что вы анализируете примеры. Именно таким путём и достигается ощущение интуитивного понимания.

[misha.physics]

Munin,

Munin в сообщении #1316671 писал(а):

Здесь есть некоторый "призрак прошлого" в преподавании физики.
Когда-то давно в курсе механики рассказывали, что как будто "есть разные разновидности векторов (понимаемых как отрезок со стрелочкой):
- одни можно переносить как угодно в пространстве;
- другие можно переносить только вдоль той линии, по которой они действуют;
- третьи нельзя переносить вообще."

Да, именно такими представлениями я и руководился. Я понимал, что результат действия силы на какое-то телы будет зависить от точки её приложения.

Munin в сообщении #1316671 писал(а):

При этом, надо внести поправку в понятие силы:
Сила - это физическая величина, которая характеризуется (как минимум) двумя вещами: вектором силы, и точкой приложения.

Понял.
Т. е. когда мы суммируем внешние силы и при этом можем перемещать векторы сил параллельно себе, то получается, что мы как-бы суммируем только векторы сил. Разве мы не должны суммировать именно силы? То есть у нас не должны быть и векторы силы и точки их приложения?

А мы здесь когда суммировали внешние силы и перемещали их при этом параллельно себе, то имели дело только с системамаи материальных частиц? Или не обязательно? Это будет справедливо для цельного тела, скажем пластины в виде треугольника? О точке приложения силы к телу зачастую задумываются, когда тело не точечное, а имеет какие то размеры и форму, правильно? Или это неважно, состоит тело из частиц точечных, или они заполняют его непрерывно? (Просто ц. м. будет считатся как интеграл.) Если у нас в вакууме плавает такая пластина:



И мы приложим силу сначала в одной точке (так чтобы тело не вращалось), а потом во второй (закрутив тело), то что можно сказать о его центре масс? Он будет двигатся в соответствии с формулой?:

$$\boldsymbol{F}=M\frac{d^2}{dt^2}\boldsymbol{R}$$

Munin в сообщении #1316671 писал(а):

Теперь надо понять такую вещь: в разных физических законах участвуют разные "составляющие" силы.

Это интересно и важно, спасибо.

P. S. С первого раза может не все понял, потом перечитаю.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1316704 писал(а):

Разве мы не должны суммировать именно силы?

Операция суммирования определена для векторов как математических объектов, но не для "сил как физических величин". Суммируя вектора сил вы можете найти вектор равнодействующей силы, т. е. силы, которая приводит к тем же самым эффектам, как и несколько исходных сил. Но это равенство результата воздействия относится только к некоторому классу эффектов, например, к законам динамики центра масс, и не относится к другим эффектам, например, к возможному разрыву верёвки, соединяющей грузики.

Добавлю, что это не имеет значения для суммы, с которой началась тема. Если вектора относятся к одному векторному пространству, то их можно суммировать, будь они силы, скорости или что угодно ещё, и тогда какие-либо равенства с исходными векторами приведут к равенству результата суммирования. Чисто формально. Иногда можно придумать интуитивный "физический смысл" результату такого суммирования. Например, что такое суммирование сил - это результат огрубления задачи, когда мы интересуемся только движением центра масс. Но от того, придуман смысл или нет, корректность равенства не изменяется.

[misha.physics]

realeugene,

realeugene в сообщении #1316714 писал(а):

Но это равенство результата воздействия относится только к некоторому классу эффектов, например, к законам динамики центра масс, и не относится к другим эффектам, например, к возможному разрыву верёвки, соединяющей грузики.

Вот что важно. Мы можем так сделать, когда изучаем динамику центра масс. Как-бы у нас есть какие-то предпосылки, что так сделать можно.

[realeugene]

misha.physics в сообщении #1316718 писал(а):

Как-бы у нас есть какие-то предпосылки, что так сделать можно.

Ну да, у нас есть законы Ньютона в векторной форме для материальных точек.

[Dragon27]

misha.physics в сообщении #1316704 писал(а):

Разве мы не должны суммировать именно силы? То есть у нас не должны быть и векторы силы и точки их приложения?

А как вы это суммируете? Надо понимать откуда это суммирование вообще идёт. Закон Ньютона у нас записывается как равенство вектора силы, действующей на тело (или суммы всех сил, действующих на тело) и вектора ускорения тела, помноженного на массу. Чтобы определить радиус-вектор центра масс мы складываем радиус-векторы всех тел, помноженные на их массы, и делим на общую массу. Дифференцированием этого мы получаем, что общая масса, умноженная на ускорение центра масс (вторая производная радиус-вектора ЦМ) равна сумме векторов ускорений отдельных тел, помноженных на их массы. А так как каждое из этих слагаемых (масса одного тело на вектор его ускорения) равно вектору силы, действующей на каждое тело, то и получается, что масса системы на вектор ускорения ЦМ равен сумме всех векторов сил (словно у нас есть одно точечное тело с массой, равной общей сумме масс, и на него действует сила с вектором силы, равной сумме всех сил). Что тут ещё надо?

[realeugene]

Добавлю, что таким образом можно построить много различных правильных равенств взвешенных сумм из сил с одной стороны и ускорений с другой. Но рассматриваемая сумма полезна тем, что в ней все внутренние силы между парами материальных точек дают нулевой вклад благодаря третьему закону Ньютона. И остаётся вклад только внешних сил, действующих на материальные точки системы.

[misha.physics]

Спасибо всем, теперь вопрос о центре масс стал для меня намного понятнее.

[Munin]

misha.physics в сообщении #1316704 писал(а):

Т. е. когда мы суммируем внешние силы и при этом можем перемещать векторы сил параллельно себе, то получается, что мы как-бы суммируем только векторы сил. Разве мы не должны суммировать именно силы?

В добавление к уже сказанному, "именно силы" - это не какие-то математические объекты, для которых существует операция суммирования. Математическими объектами являются именно векторы сил - это векторы; и точки приложения сил - это точки.

Смотрите. У вас в кармане есть какие-то деньги. Это конкретные бумажки и монеты. А есть математическая величина - сумма денег, например, 347 р. С суммой денег вы можете делать какие-то математические операции, например, посчитать, хватит ли их на батончик "Марс". Но эти операции не затрагивают другие характеристики денег: вес, цвет, запах, центр тяжести и т. д.

Часто на физике это не произносят внятно, а сразу гонят "считай и не думай", но вообще это понимать следует. Где физическая реальность, а где описывающие её математические объекты.