Многомерная геометрия

[Dimitrys]

У меня за непродолжительный отрезок времени скопилась целая куча вопросов по этой теме.
Начнём со словообразования построения правильных многоячейников.
В общем-то, понятно, почему правильных 3D многогранников всего пять. В вершине сходятся углы нескольких правильных многоугольников. При этом сумма этих углов должна быть не больше полного угла - $2\pi$ рад. Если в вершине сойдутся только 2 угла, то многоугольники, к которым принадлежат эти углы, совпадут. Значит, кол-во этих углов больше 2, но меньше $\frac{2\pi}{\pi\cdot(n-2)/n} = \frac{2n}{n-2}$ для n-угольника. Значит, для треугольника от трёх до пяти включительно, для квадрата и пятиугольника только три, для шестиугольника и старше - невозможно. Итого, пять вариантов: 3-3, 3-4, 3-5, 4-3, 5-3.
Как рассчитать углы при вершинах многогранников, я не в курсе (Хотя почему в курсе насчёт трёхгранных углов), посему пользовал табличные значения и формулы.
Ах да, полный телесный угол равен площади сферы - $4\pi$
Итак,
для тетраэдра: $\Omega \approx 0.5513 sr$, Значит до $\frac{4\pi}{0.5513}$ исключительно... до 22 включительно! То есть 20 вариантов. Хотя это странно, ибо контактное число 3-й размерности - 12... вроде.... но никак не больше 14... чёрт (Вики) же его знает. Вот тут бы и задуматься... ведь угловая мера однозначно определяет угол только в двумерном пространстве... В общем, Викия предлагает следующую формулу:
Существование правильного многогранника {p,q} (Многограннику которого в вершине сходятся q p-угольников) ограничено неравенством...
$\frac {1}{p}+\frac {1}{q}>\frac {1}{2} $ Почему, блин, Геннадий? Кто бы попонятней объяснил...
Для полихоров формула другая:
$\sin(\frac {\pi }{p})\sin(\frac {\pi }{r})-\cos(\frac {\pi }{q})$ должно быть больше 0. Почему?..
Это для начала. Остальные вопросы потом. Кто бы на эти ответил...

[arseniiv]

Для правильных многогранников как раз всё просто. Вы уже упоминали эту идею, надо смотреть на сумму углов всех многоугольников, встречающихся в вершине — она не должна быть больше развёрнутого угла — ну а величина углов правильного многоугольника находится легко, в результате все включения $\pi$ в формулу сокращаются и остаётся такая вот простота. Кстати, по понятным причинам, если заменить $>$ на $=$, вы получите три правильных замощения плоскости, а если на $<$ — замощения плоскости Лобачевского.

[Dimitrys]

С этим-то как раз мне всё (почти) понятно.
Таким образом, раз угольник содержит p углов, то его угол равен $\frac{\pi\cdot(p-2)}{p}$, в одной вершине сходятся q таких углов, сумма $\Omega = \frac{q(p-2)\pi}{p} < 2\pi; \pi>0 \Rightarrow \frac{q\cdot(p-2)}{p}<2; p,q>0 \Rightarrow q\cdot(p-2)<2p \Rightarrow$
\Rightarrow qp - 2q - 2p < 0; pq > 0 \Rightarrow 1 - \frac{2q}{qp} - \frac{2p}{qp} = \frac12 - \frac1p - \frac1q < 0 \Rightarrow \frac12 < \frac1p + \frac1q$
В целом, понятно. А как быть с многоячейниками и формулой
$\sin(\frac {\pi }{p})\sin(\frac {\pi }{r})-\cos(\frac {\pi }{q}) > 0$?
И почему правильных пятимерных и более политеронов, полипетонов, полиэксонов, полизетонов, полииотонов, поликсенонов.... существуют только три? Гиперкуб (с точками ${\pm1;\pm1;pm1 $\dots$}$), симплекс (с точками, находящимися все на равном расстоянии друг от друга) и двойственный кубу многопространник (с точками {\pm1;0;0;0;\dots};{0;\pm1;0;0;\dots} и т. п.) Кто сказал, что в 12-м измерении вдруг не появится новый политоп?
Так например, полихоры связаны с полиэдрами:
Пентахор (4-симплекс) - Тетраэдр
Октахор (Тессеракт, 4-куб) - Куб
Гексадекахор (Двойственный тессеракту) - Октаэдр
Гекатоникосахор - Додекаэдр
Гекзакосихор - Икосаэдр
Но есть и исключение:
Икоситетрахор не имеет аналогов среди полиэдров. Кто сказал, что не появится какой-нибудь такой же не имевший ранее аналогов политоп или аналог икоситетрахора в более-4-мерном пространстве?

[arseniiv]

Dimitrys в сообщении #1316595 писал(а):

политеронов, полипетонов, полиэксонов, полизетонов, полииотонов, поликсенонов

Эм, так точно употребляется? Не понятнее ли сказать «$n$-политопов»?

Dimitrys в сообщении #1316595 писал(а):

Кто сказал, что не появится какой-нибудь такой же не имевший ранее аналогов политоп или аналог икоситетрахора в более-4-мерном пространстве?

Классификация некоторого класса групп, тут я не специалист и потому упомяну только этот факт. Семейства групп из этого класса, соответствующих кубам, симплексам и двойственным кубам, счётные и имеют по представителю для каждой размерности (хотя для младших там совпадения, конечно), и есть набор групп, не входящих в такие семейства — вот они дают те трёхмерные и четырёхмерные дополнительные. Ну и линейка двумерных правильных многоугольников соответствует ещё одному семейству групп. Кажется, так.

-- Чт май 31, 2018 23:39:28 --

Dimitrys в сообщении #1316595 писал(а):

А как быть с многоячейниками и формулой
$\sin(\frac {\pi }{p})\sin(\frac {\pi }{r})-\cos(\frac {\pi }{q}) > 0$?

Это подождите кого-нибудь, кто это делал. С многогранниками/замощениями-то я штуку лично проделывал из собственного интереса.

[Dimitrys]

Ну, в общем, с этим я примерно разобрался. По моему разумению, раз все многоугольники в многограннике сходятся в одном углу, то многогранники в многоячейнике в одном ребре. То есть тетраэдров так можно расположить 3, 4 и 5 в одном ребре, кубов только 3
Октаэдров:
$\frac{2\pi}{2\arccos(\frac{\sqrt3}{3})}$ ($2\arccos(\frac{\sqrt3}{3})$ - угол между гранями) $= \frac{\pi}{\arccos(\frac{\sqrt3}{3})} \approx 3.28853554307$ только 3
Додекаэдров:
$\frac{2\pi}{\arccos(-\frac1{\sqrt5})} \approx 3.08840425466$ тоже только 3
Ну и с икосаэдрами соответственно...

Ладно... допустим. Тогда вопрос следующий. Как обуславливается вращение? В трёх измерениях вращение вокруг оси Z на угол $\alpha$ вполне ясно:
$z_1 = z_0$
$x_1 = r\cos(\arcctg(\frac{x_0}{y_0}) \pm \alpha)$
$y_1 = r\sin(\arcctg(\frac{x_0}{y_0}) \pm \alpha)$, где
$r = \sqrt{x_0^2+y_0^2}$

По поводу 4-го измерения у меня только одна идея: что вращение осуществляется вокруг, например, плоскости wOz, тогда w и z коорд. остаются прежним, тогда как х и у - как в 3-м измерении. Потому что во 2-м измерении вращение осуществляется только вокруг точки...

[arseniiv]

Вращение, строго говоря, происходит в плоскости, а не вокруг оси; в многомерном случае «вращение» (преобразование из группы $\mathrm{SO}(V)$) может происходить в наборе взаимно ортогональных плоскостей, и возможности иметь две такие начинается с четырёхмерия; вращения во взаимно ортогональных плоскостях коммутируют, так что жорданова форма матрицы такого преобразования будет содержать блоки вида $\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$ и $\begin{bmatrix} c & -s \\ s & c \end{bmatrix}$, где $c^2 + s^2 = 1$. Плюс нюанс представления: если «отдельные повороты» хотя бы в паре ортогональных плоскостей равны, эти плоскости можно выбрать не единственным образом. В двумерии и трёхмерии этой красоты не появляется, потому что плоскость туда засовывается всего одна.