Неберущиеся интегралы

[Jendose]

Наткнулся на интеграл:

$$\int\frac{xe^{x}}{e^{x}+1}\, dx$$

Вроде ничего необычного, стал интегрировать по частям, получилось:

$$xln(e^{x}+1)-\int\ln(e^{x}+1)\, dx$$

Но получившийся ∫vdu интеграл не решается...

Я не математик, но мне стало интересно, почему интеграл может не иметь решения и что это вообще значит. Почему бы не быть такой функции, производная которой равна ln(eˣ+1)? А если её нет, то какой вообще от этого интеграла смысл, что он собой являет?

А что насчёт такого:

$$\int x^{2}\cdot e^{x^{2}}\, dx$$

Я нашёл его среди примеров неберущихся интегралов. Написано: "Неберущийся, то есть такой, который невозможно выразить через элементарные функции." Значит ли это то же самое, что "не имеющий решения" и является ли тогда первый интеграл неберущимся? Если нет, то что вообще означает "неберущийся интеграл", от него тогда какой смысл и как его воспринимать?

А если ввести в калькулятор интеграл:

$$\int xe^{-x-x^{2}}\, dx$$

То в результате выходит какая-то муть с функцией erf и тем же выражением с e на хвосте. Эта самая erf, насколько я понимаю, какая-то функция ошибки, которая свидетельствует о том, что интеграл неберущийся. Или нет? Если да, то в каких вообще случаях эта erf появляется и что она вообще значит?

[Metford]

Jendose в сообщении #1316385 писал(а):

Если нет, то что вообще означает "неберущийся интеграл", от него тогда какой смысл и как его воспринимать?

Вот именно то и означает, что Вы прочитали. Есть некий набор функций, которые называются элементарными. А бывает так, что интеграл от функции, даже причисляемой к элементарным, не может быть выражен посредством функций, причисляемых к элементарным. Ничего особенного, таких много. Если какой-то интеграл - вроде функции ошибок - встречается часто, то его называют каким-нибудь названием специальным (а то и чьим-нибудь именем), подробно исследуют. В былые времена составляли таблицы значений. Так специальные функции возникают. И не только так. Кстати, можно ставить вопрос и так: допустим такую-то функция (тот же erf) принимаем в круг избранных - какие тогда интегралы можно вычислить в "элементарных функциях + erf"?

В принципе, специальной функцией мог бы быть, скажем синус. Но за давностью знакомства с ним он был отнесён к элементарным.

[mihaild]

Понятия "решить интеграл" нет, соответственно интеграл не может иметь или не иметь решения.
Из формулы Ньютона-Лейбница и критериев интегрируемости по Риману следует, что у любой непрерывной функции есть первообразная.

Когда говорят "интеграл от $f(x)$ не берется", обычно имеют в виду "первообразную от $f$ нельзя выразить из стандартных элементарных функций (всяких корней, синусов и логарифмов) с помощью арифметических операций и композиции).
Ну нельзя и нельзя - ничего особо магического в этом наборе функций нет. Вот представьте, что мы не знаем про логарифм и экспоненту, а нас попросили найти первообразную функции $\frac{1}{x}$ - у нас не получится.

[Mikhail_K]

Jendose в сообщении #1316385 писал(а):

Почему бы не быть такой функции, производная которой равна ln(eˣ+1)?

Такая функция есть, просто её нельзя представить в виде формулы с комбинацией элементарных функций. Но если эта функция где-то будет сильно нужна, математики просто введут для неё своё обозначение, и им можно будет пользоваться наряду с синусами, косинусами, логарифмами и другими элементарными функциями. Можно изучать свойства такой функции, вычислять её значения в точке с нужной точностью, и т.д.

Jendose в сообщении #1316385 писал(а):

То в результате выходит какая-то муть с функцией erf и тем же выражением с e на хвосте. Эта самая erf, насколько я понимаю, какая-то функция ошибки, которая свидетельствует о том, что интеграл неберущийся. Или нет? Если да, то в каких вообще случаях эта erf появляется и что она вообще значит?

Скорее всего, это вот эта функция: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... 0%BE%D0%BA - хотя лучше это уточнить в справке для калькулятора. Здесь как раз такая ситуация: математикам стал часто встречаться интеграл от $e^{-t^2}$; он существует, но не выражается через элементарные функции, т.е. неберущийся. Вот математики и придумали для него новый символ. Слова "функция ошибок" не свидетельствует, что тут есть какая-то ошибка; просто такое название. И нужно сказать, что далеко не любой неберущийся интеграл будет выражаться через эту самую ${\rm erf}$; для каких-то других неберущихся интегралов при необходимости придётся давать иные обозначения.

[Евгений Машеров]

В дополнение.
Принятое словоупотребление ("взять", а не "решить" интеграл), ИМХО, имеет не только силу традиции, но и отражает некоторый содержательный смысл. Дело в том, что задачу, в которой требуется взять интеграл, можно решить, не выписывая выражения для интеграла, посчитав его значение каким-либо алгоритмом численного интегрирования. Этого может быть достаточно для частной постановки задачи, но хочется исследовать поведение результата при изменении условий и т.п., для чего желательно выписать выражение явно. В попытках интегрирования ещё в XVIII веке, на заре интегрального исчисления, столкнулись с тем, что никакие приёмы не приводили к получению явно выписанной функции. И в ходе таких попыток пришли к пониманию того, что дело не в неискусности математиков, а в том, что некоторые возникающие при интегрировании функции не могут в принципе быть выражены через набор "элементарных" функций, в который включают полиномы, экспоненту и логарифм, и тригонометрические. Этот вопрос был рассмотрен Лиувиллем и последующими математиками.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0 ... %B8%D0%B8#Интегрирование_элементарных_функций
Поскольку некоторые невыразимые в элементарных функциях интегралы имеют практическое значение и/или представляют теоретический интерес, их стали рассматривать, как новые функции ("специальные"), свойства которых изучались, разрабатывались алгоритмы вычисления и составлялись таблицы. Однако, если дополнить список "элементарных" любым числом специальных функций, всё равно окажется что-то неинтегрируемое в такой расширенной системе.

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1316455 писал(а):

Принятое словоупотребление ("взять", а не "решить" интеграл), ИМХО, имеет не только силу традиции, но и отражает некоторый содержательный смысл

, но не этот. А тот, что решать вообще можно лишь задачи. Уравнение (вообще утверждение) -- это задача, выражение же -- ни разу.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Тем не менее "решить дифуравнение" употребительно, хотя это взятие интеграла, особенно для чего-то вроде $y'=f(x)$. Ну и "задача - взять интеграл" тоже вполне осмыслена.

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1316458 писал(а):

Тем не менее "решить дифуравнение" употребительно, хотя это взятие интеграла

Именно потому, что это уравнение. И, кстати, это ни разу не взятие интеграла -- это его обобщение.

Евгений Машеров в сообщении #1316458 писал(а):

Ну и "задача - взять интеграл" тоже вполне осмыслена.

Конечно. Аналогичный пример: "поставить стул" -- это задача. Соответственно, и стул сам по себе -- тоже задача. Даже проблема (попробуй его ещё внятно купить).

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1316404 писал(а):

Но если эта функция где-то будет сильно нужна, математики просто введут для неё своё обозначение

Уже ввели:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=int+log(exp(x)%2B1) говорит, что

$$\int\ln(\exp(x)+1)\,dx=-\operatorname{Li}_2(-e^x)+C,$$

где $\operatorname{Li}_n(z)$ - полилогарифм (функция Жонкьера, 1889):

[1] Polylogarithm. From MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
[2] Polylogarithm - Wikipedia - https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm

$$\operatorname{Li}_n(z)=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{z^k}{k^n}.$$

Эта спецфункция встречается в диаграммах Фейнмана, в статистиках Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, так что функция вполне нужная.

-- 31.05.2018 13:11:26 --

Евгений Машеров в сообщении #1316455 писал(а):

Однако, если дополнить список "элементарных" любым числом специальных функций, всё равно окажется что-то неинтегрируемое в такой расширенной системе.

Любым конечным числом специальных функций. Потому что бесконечным числом - можно. Например, объявить специальными функциями все функции вообще.

[Евгений Машеров]

Евгений Машеров в сообщении #1316455 писал(а):

Однако, если дополнить список "элементарных" любым числом специальных функций, всё равно окажется что-то неинтегрируемое в такой расширенной системе.

Важная поправка от уважаемого Munin
"любым конечным числом".

(Оффтоп)

А давайте пожалеем гг. студентов - не будем их заставлять зазубривать таблицу интегралов со счётным число страниц!

[Munin]

(Оффтоп)

Зачем зазубривать? Достаточно иметь под рукой справочник. Ведь таблицы Брадиса никто наизусть не учил.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Ну так придётся таскать на занятия справочник со счётным числом страниц...

GAA:

Удалены два сообщения с откровенным оффтопиком. Что такое неберущийся интеграл обсуждали на форуме много раз. Ветка закрыта.