доказательство квадратичной взаимности Гаусса

[philurame]

$\binom{p}{q}\binom{q}{p}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$
Подскажите пожалуйста самый простой способ доказательства
(думаю, там должна учавствовать формула $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\pm1($mod $ p)$)

[novichok2018]

Совсем простого доказательства наверное нет. Гаусс дал два десятка доказательств, в том числе с помощью сумм Гаусса, совсем нетривиальная сумма. Если есть- интересно услышать знающих. Имеются в виду прямые доказательства, не использующие эквивалентных фактов.

[philurame]

novichok2018
а вы случайно не знаете наиболее понятные доказательства эквивалентных?

[novichok2018]

В учебниках?

[philurame]

novichok2018
где-нибудь, где я смогу посмотреть,

[VAL]

philurame в сообщении #1316245 писал(а):

$\binom{p}{q}\binom{q}{p}=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$
Подскажите пожалуйста самый простой способ доказательства
(думаю, там должна учавствовать формула $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv\pm1($mod $ p)$)

Самое короткое из известных мне доказательств у Виноградова. То же (ЕМНИП) в идейном плане, но подробнее, изложено у Бухштаба.

[philurame]

VAL спасибо!у Виноградова достаточно понятное доказательство.

[Sonic86]

philurame в сообщении #1316245 писал(а):

Подскажите пожалуйста самый простой способ доказательства

Еще несколько способов есть в Айерленде, Роузене Классическое введение в современную ТЧ (через суммы Гаусса и конечные поля).

Обычное доказательство через лемму Гаусса еще есть в Дэвенпорте Высшая арифметика, в Нестеренко Теория чисел.
Оба доказательства есть в книге Хассе Теория чисел.

[deep blue]

VAL Есть еще какое-то суперкороткое доказательство, может это то же самое:

Цитата:

Справедливости ради, следует отметить мелким шрифтом, что мы могли бы доказать закон взаимности в этом пункте сразу после леммы 1, но при этом упустили бы из виду важные свойства символа Лежандра, которые спрашивают на кандидатском экзамене по специальности “Алгебра, математическая логика и теория чисел”. Кроме того, “быстрое” доказательство закона взаимности страдает существенным недостатком – совершенно непонятно, как до него додуматься. А додумался до него немецкий математик Фердинанд Готхольд Эйзенштейн (1823–1852). Это доказательство, дословно почерпнутое из замечательной книжки Ж.П.Серра “Курс арифметики”, перед вами.

[novichok2018]

deep blue - это курс Сизова?