Странность в задаче на распределение

[GlazkovD]

Разбирал пример задачи



Не понимаю как там вообще искали обратную функцию.

$$x^2$$

на промежутке X

$$[-\infty;0]$$

функция монотонно убывающая.
На мой взгляд обратная функция на данном промежутке

$$x=-\sqrt(y)$$

От 0 до бесконечности

$$x=\sqrt(y)$$

.
Не могли бы подсказать, какая логика использовалась в данном примере >?
Вообще под обратной функцией к

$$y=f(x)$$

я понимаю выражение

$$x=g(y)$$

[AD]

Ну и муть!! Задача в одну строчку, а они там графики рисуют.

Ищем ФР случайной величины $Y$. При $x<0$, ясное дело, ноль будет. При $x\ge0$:

$$F(x)=P\{X^2\le x\}=P\{-\sqrt x\le X\le\sqrt x\},$$

а это простейшая вероятность попадания в область.

Дальше дифференцируем и находим плотность.

[ewert]

GlazkovD писал(а):

Не понимаю как там вообще искали обратную функцию.

$$x^2$$

на промежутке X

$$[-\infty;0]$$

функция монотонно убывающая.
На мой взгляд обратная функция на данном промежутке

$$x=-\sqrt(y)$$

От 0 до бесконечности

$$x=\sqrt(y)$$

.
Не могли бы подсказать, какая логика использовалась в данном примере >?
Вообще под обратной функцией к

$$y=f(x)$$

я понимаю выражение

$$x=g(y)$$

Да, решение довольно занудно; на мой взгляд, считать гораздо удобнее не плотность верооятности, а интегральную функцию распределения. Но раз уж так...

Дело в том, кто в решении рассматриваются отрезки для новой переменной $Y$, а не для $X$, как Вам показалось. Плотности распределения старой и новой переменных связаны соотношением

$$ dp=f_X(x)\,dx=f_X(x(y))\,|x'(y)|\,dy\equiv f_Y(y)\,dy\quad\Longrightarrow\quad f_Y(y)=f_X(x(y))\,|x'(y)|\,dy.$$

Но это -- если функция $y(x)$ монотонна, т.е. если прообраз $x(y)$ единственен. В общем же случае считать надо примерно так:

$$ f_Y(y)=\sum_kf_X(x_k(y))\,|x_k'(y)|\,dy,$$

где для каждой точке $y$ берётся столько слагаемых, сколько прообразов $x_k(y)$ имеется для этой точки. В нашем случае $x(y)=\pm\sqrt y$; вот авторы и разбили всю вертикальную ось на четыре отрезка в зависимости от имеющихся прообразов -- эти отрезки хорошо видны на графике, если глянуть на него слева направо.

[faruk]

Получается псевдопарадоксальный результат: в нуле плотность вероятности стремится к бесконечности.
Кто может на словах объяснить, почему это так?

[Someone]

Потому что производная от $x^2$ стремится к нулю, а на неё надо делить (правда, она выражена через $y$, но это несущественно).

[ewert]

faruk писал(а):

Получается псевдопарадоксальный результат: в нуле плотность вероятности стремится к бесконечности.
Кто может на словах объяснить, почему это так?

А почему бы ей и не стремиться?
А по рабоче-крестьянски очевидно, почему бесконечна. Потому, что в нуле новая переменная меняется бесконечно медленно по сравнению со старой.

[faruk]

Someone писал(а):

Потому что производная от $x^2$ стремится к нулю, а на неё надо делить (правда, она выражена через $y$, но это несущественно).

Под разъяснением на словах, "на пальцах", понимается нечто другое. Тут требуется не формальное понимание задачи, а глубинное, независимое от математического аппарата.

[PAV]

Потому что вероятность попадания в малый отрезок вокруг нуля есть величина большего порядка, чем длина этого отрезка.