Правильно ли я понимаю, что такое оператор?

[Ktina]

Возможно, я чересчур упрощённо (или вообще неправильно) понимаю термин "оператор". И нет, речь не идёт о том усатом толстячке с сигарой в зубах, который снимает кино.

Допустим, у нас есть следующее семейство функций $f \colon R \to R$

$$f(x)=x+a,\quad a\in\mathbb{R}$$

Теперь, если мы, например, поставим в соответствие каждой такой функции $f(x)=x+a$ ровно одну функцию из семейства

$$g(x)=x^2+3a,\quad a\in\mathbb{R}$$

, это будет оператор или нет? То есть, верно ли, что оператор - это всего лишь функция из одного множества функций в другое (возможно, то же самое) множество функций?

[thething]

Всё проще: слово "оператор" -- синоним слову "функция". Также можно употреблять (в зависимости от раздела математики) термины "отображение", "функционал" и т.д. Например, в математическом анализе, если написано $f(g(x))$, то мы назовём это сложной функцией или композицией функций. В функциональном анализе то же самое назовём оператором $f$, действующим на множестве функций $g(x)$ из какого-либо пространства. По сути же и то и другое -- функции, просто области определения у них заданы по-разному.

[Ktina]

thething
Большое спасибо!
Если я правильно Вас понимаю, то даже обыкновенный квадратный трёхчлен можно также назвать оператором?
А можно пару конкретных примеров из функана? Желательно попроще, для начала.

[thething]

Ktina в сообщении #1315240 писал(а):

Если я правильно Вас понимаю, то даже обыкновенный квадратный трёхчлен можно также назвать оператором?

Если помимо формулы укажете область определения и множества значений -- то да.

Ktina в сообщении #1315240 писал(а):

А можно пару конкретных примеров из функана? Желательно попроще, для начала.

Например, $Ax(t)=x'(t)$, $A:C^1[0,1]\to C[0,1]$, или, совсем проще, $Ax(t)=x(t)$, $A:C[0,1]\to C[0,1]$

[Ktina]

thething
Ещё раз спасибо!

[Mishka_Barni]

(Оффтоп)

thething в сообщении #1315239 писал(а):

Всё проще: слово "оператор" -- синоним слову "функция".

Наверное так. Но мне кажется (я не утверждаю), что чаще под функцией подразумевают отображение в некоторое поле, а под оператором отображение между линейными пространствами (функционал -- оператор отображающий линейное пространство в поле над которым определено линейное пространство).
И само понятие отображения является более основным по отношению к другим. А вообще надо смотреть контекст.

[arseniiv]

Вообще темы про то, что понимать под оператором и что не понимать, уже были. И считать ли отображение более общим словом, чем функция. Вот я, например, использую в основном последнее слово — короче, а все всё равно понимают; а вот слово «отображается» уже не заменить (впрочем, часто можно «переходит», но «взаимно однозначно переходит» уже не скажешь).

[ewert]

thething в сообщении #1315239 писал(а):

слово "оператор" -- синоним слову "функция". Также можно употреблять (в зависимости от раздела математики) термины "отображение", "функционал"

Первое -- верно, второе -- тоже, третье -- категорически нет. Термин "функционал" застолблен весьма жёстко.

[thething]

ewert в сообщении #1315656 писал(а):

Термин "функционал" застолблен весьма жёстко.

Ну да. Не всякий оператор -- функционал, но всякий функционал -- оператор.. Но всё это -- функции. Это я и имел ввиду там выше, но недостаточно чётко выразился, спасибо за замечание.

[Walker_XXI]

Ktina в сообщении #1315240 писал(а):

Если я правильно Вас понимаю, то даже обыкновенный квадратный трёхчлен можно также назвать оператором?

Квадратный трёхчлен $ax^2+bx+c$ задаёт (определяет) отображение, функцию, оператор (который, например, можно обозначить как $a(\cdot)^2+b(\cdot)+c$). Но называть сам трёхчлен $ax^2+bx+c$ оператором не вполне корректно.

[eugensk]

Ktina
Мне кажется, выбор задаёт второе слово:
Отображение - сюръективное, инъективное, биективное, обратное, обратимое, и, выбиваясь из ряда, сжимающее...
Функция - обратная, обратимая, частичная, действительная, комплексная, векторная, монотонная, непрерывная, гладкая, билинейная, быстрорастущая...
Оператор - линейный, ограниченный, непрерывный...
Функционал - как оператор.
и т.д.

Этот выбор (отображение vs функция vs оператор..) несуществен, дань традиции.

[ewert]

eugensk в сообщении #1315861 писал(а):

Функционал - как оператор.
и т.д.

Этот выбор (отображение vs функция vs оператор..) несуществен, дань традиции.

Не только традиции, но и целесообразности. Для внятности изложения необходимо разводить разные термины по разным клеткам, пусть даже и условным. Это как "множество", "семейство", "класс", "совокупность" и т.д. -- сиречь одно, однако без разведения клеток по терминам (пардон за инверсию) текст станет нечитабельным.

Однако к функционалам это не относится. Под ними подавляющее большинство юзеров понимает отображение из чего угодно, но -- непременно в числа.