Сверхтекучесть в терминах уравнения Гросса-Питаевского

[andrey1782]

Здравствуйте,
Хотелось бы удостоверится в правильности понимания интерпретации явления сверхтекучести в терминах уравнения Гросса-Питаевкого (ГП).
Уравнения ГП обладает симметрией относительно пространственных поворотов и смещений и следовательно импульс и момент импульса для него являются интегралами движения.
Ничто не мешает мне задать в начальных условиях для этого уравнения поле любой формы, в том числе и с энергетически невыгодными возмущениями (соответствующих медленому внешнему воздействию).
Однако в силу наличия указных интегралов движения, если эти возмущения характеризуется угловым моментом, то он будет сохраняться.
Его же "энергетическая невыгодность", как мне кажется, проявляется в том, что за счёт нелинейных механизмов заложенных в ГП низкочастотные пространственные моды конвертируется в высокочастотные пространственные угловые моды, что интерпретируется как рост температуры, а не как приращение углового момента после взаимодействия сверхтекучего вещества со стенками вращающегося сосуда.

[Gickle]

А можно для дураков попроще как-нибудь? Ну, на языке математике то есть. А то лично я не особо въезжаю, что вы, например, вот этим

andrey1782 в сообщении #1311297 писал(а):

низкочастотные пространственные моды конвертируется в высокочастотные пространственные угловые моды

пытаетесь сказать.

[andrey1782]

В общем я сам пытаюсь разобраться. Поэтому, возможно, от недостаточного понимания неудачно формулирую.
Хотелсь бы численно смоделировать эффект срехтекучнести на сонове уравнений ГП.

Хотелось бы воспроизвести эффект отсутсвия вращательного возбуждения свертекучего вещества при вращающающехся стенках сосуда, но проблема для меня в том, что если я задю вращающейся потенциал , то естественно имею приращение углового момента сверхтекучей жидкости, опять же в силу законов сохранения. Как это согласовать с тем эффектом свертекучести который я должен наблюдать мне не очень понятно, вот и пытаюсь придать этому какой-то интерпритационный смысл.

Рапсредения энергии возмущений по модам будет определяться функцией вида:
$ \left\lvert \Psi(k,t) \right\rvert ^2 $
Где $\Psi(k,t)$ фурье образ поля по прострасвеным координатам. В процессе динамики эта функция будет трансформироваться за счёт нелинейных механизмов, и скажем её пик может сместиться из области малых значений $k$ в обьлсть больших занчений $k$ . Имено это я имел ввиду, когда писал о конвертации мод.

[Gickle]

andrey1782
Сейчас кратко отвечу - потом, если будет время, распишу поподробнее.

Во-первых, начинать понимание сверхтекучести с уравнения Гросса-Питаевского (GPE) - мысль плохая, как по мне. Связь этого уравнения с явлением сверхтекучести есть (и вполне серьёзная), но не совсем прямая.

andrey1782 в сообщении #1311823 писал(а):

Хотелсь бы численно смоделировать эффект срехтекучнести на сонове уравнений ГП.

Что вы под этим понимаете? Как именно вы хотите её моделировать?

andrey1782 в сообщении #1311823 писал(а):

В процессе динамики эта функция будет трансформироваться за счёт нелинейных механизмов, и скажем её пик может сместиться из области малых значений $k$ в обьлсть больших занчений $k$ .

Вот это можете подробнее прокомментировать? Так уж получилось, что это часть моих научных интересов, так что глаз зацепился за утверждение.

Теперь немного по физике. Ключевым моментом этого явления является спектр возбуждений. Из того же GPE несложно получить (раскладывая $\Psi \rightarrow \sqrt{n_0} + \delta \Psi$ и рассматривая уравнение в первом порядке по флуктуациям), что

$$\omega_k = \sqrt{\frac{k^2}{2m} \left(\frac{k^2}{2m} + 2 g n_0\right)}$$

Важным является то, что этот спектр линеен при $k \ll k_{\xi}$ (найдите выражение для $k_{\xi}$ сами), то есть $\omega_k = c_s k$ при малых $k$. Здесь $c_s$ - скорость звука, выражение для которой найдите, опять же, сами.

Какое всё это отношение имеет к сверхтекучести? Мы имеем теперь, в терминах двухкомпонентной модели, сверхтекучую компоненту, отвечающую $\Psi_0$, и нормальную компоненту, которая является газом возбуждений (фононов). Вторым ключевым моментом является то, что при достаточно низких температурах количество фононов очень мало (что тоже не мешало бы показать). Предположим теперь, что наша жидкость течёт с некоторой постоянной (в том числе и по объёму) скоростью $\mathbf{V}$. Её энергия тогда в лабораторной системе отсчёта $E_1 = \frac{M \mathbf{V}^2}{2}$. Если перейти теперь в систему отсчёта, где жидкость покоится, то стенки относительно неё будут двигаться со скоростью $-\mathbf{V}$. При наличии трения энергия жидкости может быть передана двумя путями: (а) создание возбуждения и (б) передача энергии уже существующим фононам. В нашем предположении фононов очень мало, так что (б) пренебрежимо мало и можно рассматривать только (а). Пусть изначально фононов не было вообще и что за счёт трения было создано одно возбуждение с импульсом $\mathbf{k}$. Энергия этой системы (опять в лабораторной СО) есть $E_2 = \frac{M \mathbf{V}^2}{2} + \mathbf{k} \mathbf{V} + \omega_k$. Из закона сохранения энергии следует

$$\omega_k = - \mathbf{k} \mathbf{V},$$

что может быть выполнено, только если

$$|\mathbf{k}| \cdot |\mathbf{V}| > \omega_k$$

Отсюда видно, что если бы $\omega_k \sim k^2$, то условие было бы не выполнено (какой бы маленькой ни была скорость $|\mathbf{V}|$, была бы возможность создать возбуждение). Однако если спектр имеет щель или, как в нашем случае, линеен, то ситуация меняется. Теперь, если $|\mathbf{V}| < c_s$, возбуждение создано быть не может, так что жидкость (в пренебрежении рассеяния на уже существующих фононах) не испытывает трения.

В общем, вкратце как-то так. Разумеется, я здесь очень-очень много чего опустил. Так, скажем, в действительности спектр имеет несколько иной характер, так что помимо фононов существуют также и другие квазичастицы, называемые ротонами. Кроме того, предполагалось, что среднее поле тривиально. В реальности же могут существовать топологически нетривиальные конфигурации, отвечающие более сложным решениям GPE. Среди самых известных - вихри в $d = 2$. Напоследок оставлю немного литературы:

1. "Bose-Einstein Condensation and Superfluidity". L.Pitaevskii, S. Stringari. Книга целиком посвящена явлениям БЭК и сверхтекучести. Написана вполне простым языком и не предполагает знаний КТП.
2. "Statistical Mechanics". K. Huang. Уже классическая книга по статистической физике. Сверхтекучести отведена глава 13.
3. "Condensed Matter Field Theory". A. Altland, B.D. Simons. Если интересно взглянуть на сверхтекучесть и БЭК с несколько иного угла (спонтанное нарушение U(1)-симметрии), то можно полистать главу 6 из этой книги.
4. Roberts P.H., Berloff N.G. (2001) The Nonlinear Schrödinger Equation as a Model of Superfluidity. In: Barenghi C.F., Donnelly R.J., Vinen W.F. (eds) Quantized Vortex Dynamics and Superfluid Turbulence. Lecture Notes in Physics, vol 571. Springer, Berlin, Heidelberg. Небольшая обзорная статья, которая должна быть вам особенно интересна, потому что здесь именно про GPE и его связь со сверхтекучестью.

[andrey1782]

Gickle
Спасибо, что ответили.

Уточню что бы я хотел получить:
Хотелось бы иметь уравнение для сверхтекучей жидкости, взаимодействующей со стенками вращающегося сосуда, причём так, что если скорость вращения этого сосуда мала, то несмотря на вращение стенок сосуда она не начинает вращаться.
Как я полагал, возможно по наивности, для этого нужно решать ГП во вращающемся потенциале.

Соображения которые Вы привели конечно мне знакомы. Однако для меня осталось вопрос, как интерпритировать замечание, что если
$|\mathbf{V}| < c_s$, возбуждение создано быть не может, так что жидкость (в пренебрежении рассеяния на уже существующих фононах) не испытывает трения
в терминах ГП?
Что значит "возбуждение создано быть не может"?, Ведь начальное распределение поля конденсата $\Psi$ я могу выбрать каким угодно, в том числе и с $|\mathbf{V}| < c_s$.
Тут, как мне кажется, есть два вариант ответа:

1) Такое возбуждение является неустойчивым и очень быстро рассосётся (что я и имел в виду когда писал о конвертации мод ). Но в силу занов сохранения угловой момент системы как целого при этом всё таки никуда не исчезнет.

2) Особенность взаимодействия со стенками сосуда такова, что вид этого взаимодействия "знает" о соотношении $|\mathbf{V}| < c_s$ и при выполнении этого соотношения взаимодействе со стенками сосуда обнуляется. Тогда воникает вопрос что это за взаимодействе и какой вид оно имеет в ГП?

(Вот кстати наткулся на статью:

https://arxiv.org/abs/1602.07071

где есть дополнительное слагаемое обусловленое вращением, и обеспечиваюшие его затухание(как мне видется). Но это не взаимодействие со стенками сосуда, в котором заложен эффект свертекучести )
______________________________________________________

Я до сих пор склонялся к первому варианту ответа(так как он находится в рамках мтандартного ГП). Но я в этом не уверен.
Буду пока читать статьи, может ситуация проясниться.

Теперь дополнительный комментарий относительно преобразования распределения энергии по угловому спектру:
В нелинейной оптики есть НУШ(с кубичной нелинейностью) аналог ГП. Там, в частности, рассматривается эффект транформации пространсвенного спектра в нелинейной среде см. например:
С. А. Ахманов ,Ю. Е. Дьяков ,А. С. Чиркин
ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКУЮ РАДИОФИЗИКУ И ОПТИКУ
Так вот, там нелинейная среда с этой точки зрения интерпритируется как(пространственно) частотный фильтр поддерживающий одни моды и подавляющий другие.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно оформлены цитаты.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Gickle]

Извиняюсь, что надолго пропал - у меня совсем не было времени. На днях постараюсь нормально ответить, а пока что просто оставлю небольшой комментарий относительно:

andrey1782 в сообщении #1312270 писал(а):

Теперь дополнительный комментарий относительно преобразования распределения энергии по угловому спектру:
В нелинейной оптики есть НУШ(с кубичной нелинейностью) аналог ГП. Там, в частности, рассматривается эффект транформации пространсвенного спектра в нелинейной среде см. например:
С. А. Ахманов ,Ю. Е. Дьяков ,А. С. Чиркин
ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКУЮ РАДИОФИЗИКУ И ОПТИКУ
Так вот, там нелинейная среда с этой точки зрения интерпритируется как(пространственно) частотный фильтр поддерживающий одни моды и подавляющий другие.

Мой комментарий был в основном относительно направления транспорта, потому что у вас какое-то безапелляционное заявление было, как мне показалось. Если интересно почитать про релаксацию сильно неравновесного (изолированного) бозе-газа, то могу посоветовать почитать недавнюю полуобзорную статью, где этот вопрос затронут, - arXiv:1801.09490. Во многом потому, что я с авторами знаком хорошо, конечно.

[Gickle]

andrey1782
Ещё раз извиняюсь за то, что забыл ответить. Прежде чем что-то комментировать, повторюсь, что непосредственно сверхтекучестью, а уж тем более её численным моделированием я сам не занимаюсь. Так что воспринимайте всё сказанное мной с известной долей скептицизма.

andrey1782 в сообщении #1312270 писал(а):

Хотелось бы иметь уравнение для сверхтекучей жидкости, взаимодействующей со стенками вращающегося сосуда, причём так, что если скорость вращения этого сосуда мала, то несмотря на вращение стенок сосуда она не начинает вращаться.
Как я полагал, возможно по наивности, для этого нужно решать ГП во вращающемся потенциале.

Во-первых, на что, как по мне, действительно стоит смотреть при этом, - профили плотности и фазы. При $\Omega \gtrsim \Omega_c = \frac{1}{mR^2} \log \frac{R}{r_c},$ где $R$ - радиус сосуда, $r_c$ - размер "ядра вихря" (по порядку величины $r_c \sim \xi$), должны появиться вихревые нити. Это будет проще всего увидеть по профилю плотности - на месте вихрей будут "дырки", то есть существенное падение плотности жидкости. Во-вторых, лично мне кажется, что это довольно сложно будет реализовать. Главным образом из-за наличия численной вязкости, которая всегда появляется из-за дискретизации уравнений. Попробуйте, кстати, глянуть вот эту статью: Tsubota, M. & Kasamatsu, K. J Low Temp Phys (2005) 138: 471. Честно скажу, что я её глянул очень мельком, но есть ощущение, что там говорится про что-то близкое к тому, что вы хотите делать (хотя там параболическая ловушка рассматривается, а не цилиндр вроде). Ну или хотя бы ссылки на другую литературу для себя почерпнёте.

andrey1782 в сообщении #1312270 писал(а):

Соображения которые Вы привели конечно мне знакомы. Однако для меня осталось вопрос, как интерпритировать замечание, что если
$|\mathbf{V}| < c_s$, возбуждение создано быть не может, так что жидкость (в пренебрежении рассеяния на уже существующих фононах) не испытывает трения
в терминах ГП?
Что значит "возбуждение создано быть не может"?, Ведь начальное распределение поля конденсата $\Psi$ я могу выбрать каким угодно, в том числе и с $|\mathbf{V}| < c_s$.

Это значит, что "возбуждение создано быть не может". :) Ну, вот если какую-нибудь аналогию с твёрдым телом приводить, то пусть у нас есть какой-то металл необычный, который хоть как-то деформации чувствовать начинает, только если его как следует треснуть. А если легонько бить, то кристаллической решётке вообще плевать - фононы не возбуждаются. Так и тут. Относительно второй части вопроса: ну можете, в чём посыл-то? Тут важно, что стенки сосуда взаимодействуют с жидкостью. Так что это стоит рассматривать как некий потенциал. Может, я не до конца понял ваш вопрос/мысль?

Pphantom в сообщении #1312413 писал(а):

1) Такое возбуждение является неустойчивым и очень быстро рассосётся (что я и имел в виду когда писал о конвертации мод ). Но в силу занов сохранения угловой момент системы как целого при этом всё таки никуда не исчезнет.

2) Особенность взаимодействия со стенками сосуда такова, что вид этого взаимодействия "знает" о соотношении $|\mathbf{V}| < c_s$ и при выполнении этого соотношения взаимодействе со стенками сосуда обнуляется. Тогда воникает вопрос что это за взаимодействе и какой вид оно имеет в ГП?

А, надо было дочитать, оказывается. :)

1) Если у вас жидкость изначально возбуждена, то, разумеется, будет иметь место процесс релаксации. Причём тут всё на самом деле не так просто и существенно зависит от "степени возбуждённости". Если система не очень далеко от своего равновесного состояния, то можно пользоваться методами линейного отклика. Если же система находится далеко от равновесия, то уже фигу там - всё становится сложнее. К слову, такими штуками я как раз и занимаюсь. :)

2) Ну, вот я где-то так это и вижу лично, да. Как (и можно ли) это как-то хорошо записать в терминах ГП, лично я не знаю. Для этого стоит смотреть, можно ли это граничное условие запихнуть непосредственно в действие/гамильтониан, а потом считать, как изменилось среднеполевое уравнение. Знаю, что для случая "диск в сверхтекучей жидкости" это делается, см., например, M. Brachet, C. R. Physique 13 (2012) 954–965.

[andrey1782]

Gickle в сообщении #1315847 писал(а):

1) Если у вас жидкость изначально возбуждена, то, разумеется, будет иметь место процесс релаксации. Причём тут всё на самом деле не так просто и существенно зависит от "степени возбуждённости". Если система не очень далеко от своего равновесного состояния, то можно пользоваться методами линейного отклика. Если же система находится далеко от равновесия, то уже фигу там - всё становится сложнее. К слову, такими штуками я как раз и занимаюсь. :)

2) Ну, вот я где-то так это и вижу лично, да. Как (и можно ли) это как-то хорошо записать в терминах ГП, лично я не знаю. Для этого стоит смотреть, можно ли это граничное условие запихнуть непосредственно в действие/гамильтониан, а потом считать, как изменилось среднеполевое уравнение. Знаю, что для случая "диск в сверхтекучей жидкости" это делается, см., например, M. Brachet, C. R. Physique 13 (2012) 954–965.

В таком случае следует признать что уравнение ГП в его классическом варианте (без правильно "запихутых граничных условий непосредственно в действие")не позволяет описать эспериментально наблюдамемый эффект свертекучести?

[Gickle]

andrey1782 в сообщении #1316637 писал(а):

В таком случае следует признать что уравнение ГП в его классическом варианте (без правильно "запихутых граничных условий непосредственно в действие")не позволяет описать эспериментально наблюдамемый эффект свертекучести?

Вообще говоря, уравнение Гросса-Питаевского вообще не имеет отношения к сверхтекучести per se. Чтобы связать его со сверхтекучестью, нужно ещё много-много слов проговорить. Является ли вышеобсуждаемое критическим для описания, я не знаю. Недостаточно компетентен в этих вопросах. Если не забуду и не поленюсь, постараюсь спросить по этому поводу у коллег, которые предположительно что-то знают в моделировании сверхтекучести. До тех пор я, пожалуй, удалюсь из разговора, чтобы не наговорить глупостей.