Задача с Всеросса

[Rusit8800]

Назовем усреднением последовательности $\[\left\{ {{a_k}} \right\}\]$ действительных чисел последовательность $\[\left\{ {{{a'}_k}} \right\}\]$ с общим членом $\[{{a'}_k} = \frac{{{a_k} + {a_{k + 1}}}}{2}\]$. Рассмотрим последовательности: $\[\left\{ {{a_k}} \right\}\]$ , $\[\left\{ {{{a'}_k}} \right\}\]$ – ее усреднение, $\[\left\{ {{{a''}_k}} \right\}\] $ – усреднение последовательности $\[\left\{ {{{a'}_k}} \right\}\]$, и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых чисел, то будем говорить, что последовательность $\[\left\{ {{a_k}} \right\}\]$ – хорошая. Докажите, что если последовательность $\[\left\{ {{a_k}} \right\}\]$ – хорошая, то последовательность $\[\left\{ {a_k^2} \right\}\]$ – тоже хорошая.

Это задача заключительного этапа Всеросса для 10 класса. Я решил ее за 3 минуты и никак не могу найти ошибку в решении. Мое решение:
Из условия следует, что $\[{a_k} \in \mathbb{Z}\]$. Докажем, что последовательность является хорошей тогда и только тогда, когда все числа $\[{a_k}\]$ имеют одинаковую четность.
Действительно, если в последовательности найдется хоть одно число, отличающееся четностью от всех остальных, то найдется пара чисел $\[{a_i}\]$ и $\[{a_j}\]$ разной четности. При этом $\[\frac{{{a_i} + {a_j}}}{2} \notin \mathbb{Z}\]$, поэтому последовательность не будет хорошей.
Если же четность всех чисел одинакова, то сумма $\[{{a_i} + {a_j}}\]$ любых двух пар чисел этой последовательности будет четна, поэтому $\[\frac{{{a_i} + {a_j}}}{2} \in \mathbb{Z}\]$ для любых чисел $\[{a_i}\]$ и $\[{a_j}\]$ этой последовательности.
Осталось заметить, что возведение в квадрат (да и вообще в любую натуральную степень) не меняет четность. Так что, если все числа последовательности $\[\left\{ {{a_k}} \right\}\]$ имеют одинаковую четность, то все числа в последовательности $\[\left\{ {a_k^n} \right\}\]$ ,где $\[n \in \mathbb{N}\]$, имеют одинаковую четность, значит, по доказанному критерию, последовательность $\[\left\{ {a_k^n} \right\}\]$ хорошая.

[Mikhail_K]

Rusit8800 в сообщении #1315376 писал(а):

Если же четность всех чисел одинакова, то сумма $\[{{a_i} + {a_j}}\]$ любых двух пар чисел этой последовательности будет четна, поэтому $\[\frac{{{a_i} + {a_j}}}{2} \in \mathbb{Z}\]$ для любых чисел $\[{a_i}\]$ и $\[{a_j}\]$ этой последовательности.

И что из этого? Первое усреднение будет состоять из целых чисел, а второе?

Рассмотрите последовательность $2,\,4,\,8,\,16,\,\ldots$.
У неё все члены имеют одинаковую чётность, однако она не хорошая.

[Rusit8800]

Mikhail_K в сообщении #1315379 писал(а):

Рассмотрите последовательность $2,\,4,\,8,\,16,\,\ldots$.
У неё все члены имеют одинаковую чётность, однако она не хорошая.

Вот что бывает, когда вместо неравных чисел одной четности рассматривать равные...
Жалко, что если заменить

Rusit8800 в сообщении #1315376 писал(а):

когда все числа $\[{a_k}\]$ имеют одинаковую четность

на
когда все числа $\[{a_k}\]$ равны, то утверждение не будет необходимым, хотя и будет достаточным.

[Null]

(Оффтоп)

Хорошая задача. Какой это год? Хочу сравнить со своим решением.

[Rusit8800]

Задача 440.