О связности на многообразиях и кратчайших кривых

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, очень прошу Вас помочь мне ещё с одним ребусом, который представляю Вашему вниманию. Пусть $a$ и $b$ -- две различные точки области $D$ риманового многообразия ${\Bbb M}^n,$ $n\geqslant 2,$ где $\overline{D}\subset {\Bbb M}^n$ и $\overline{D}\ne {\Bbb M}^n.$ Будем предполагать, что $\overline{D}$ компакт. Обозначим через $r_0:=d(a, b)$ -- геодезическое расстояние между точками $a$ и $b$ на ${\Bbb M}^n$ (= инфинум длин всех кусочно-гладких кривых, соединяющих точки $a$ и $b$ на ${\Bbb M}^n$). ВОПРОС. Можно ли построить две такие кусочно-гладкие кривые $\alpha:[0, 1]\rightarrow {\Bbb M}^n$ и $\beta:[0, 1]\rightarrow {\Bbb M}^n,$ что: 1) $\alpha(0)=a,$ $\alpha(t)\in D$ при $t\in (0, 1)$ и $\alpha(1)\in \partial D;$ $\beta(0)=b,$ $\beta(t)\in D$ при $t\in (0, 1)$ и $\beta(1)\in \partial D;$ 2) геодезическое расстояние ${\rm dist}(|\alpha|, |\beta|)$ между образами (носителями) кривых $|\alpha|$ и $|\beta|$ не меньше $r_0$ ?

На плоскости ${\Bbb R}^2$ и даже пространстве ${\Bbb R}^n, $ $n\geqslant 2,$ такой результат верен. Если мы рассмотрим произвольную ограниченную область $D$ и соединим заданные точки $a$ и $b$ обычной прямой, то несложно выделить отрезки, лежащие на этой прямой, с указанным свойством. В частности, поскольку область $D$ ограничена, в силу общих теорем о связности множеств (см., напр., теорема 1, пункт I, $\S 46,$ гл. 5, Куратовский, Топология, т. 2) такая прямая пересекает границу области. Что будет происходить на многообразии - непонятно. Буду рад любым комментариям и советам !

[Slav-27]

Evgenii2012 в сообщении #1315258 писал(а):

расстояние ${\rm dist}(|\alpha|, |\beta|)$ между образами (носителями) кривых $|\alpha|$ и $|\beta|$

Это минимум или максимум поточечных расстояний? Если максимум, то меньше всяко не будет. А если минимум, то возьмите в качестве $M$ сферу, а в качестве $D$ её же без маленького кружочка.

[Evgenii2012]

Slav-27, большое спасибо за Ваше мнение. Это минимум: ${\rm dist}\,(A, B)=\inf\limits_{x\in A, y\in B}d(x, y).$ В случае сферы без кружочка -- проблем нет. Вопрос теперь в следующем: какие условия на многообразие нужно потребовать, чтобы данное свойство стало верным ? Буду рад узнать Ваше мнение