Смысл комплексных корней уравнения

[PHK]

Доброго времени суток! Уже давно задался вопросом, связанным с комплексной плоскостью и ее смыслом. Допустим, мы решаем квадратное уравнение, вычисляем дискриминант, и, как известно дискриминант показывает, есть ли у параболы пересечение с действительной осью Х. Как мы знаем, если D<0, то пересечений нет. Но мы можем вычислить комплексный корень. Но что он будет обозначать на плоскости?(пересечений с осью все равно нет) С чем будет пересекаться парабола? Какой вообще смысл несет в себе комплексная плоскость и числа на ней по отношению к функциям? Что обозначает комплексный корень уравнений любых степеней? Как вообще построить функции в комплексной плоскости? Может быть, здесь найдется человек, который объяснит это

[Lia]

PHK
Пожалуйста, генерируйте вопросы по одному. Вот это все скопом обсуждать невозможно. С чего Вы хотели бы начать? Что Вы сами знаете об этом?

[thething]

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Но что он будет обозначать на плоскости?

Точку

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

С чем будет пересекаться парабола?

А это не парабола

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Какой вообще смысл несет в себе комплексная плоскость и числа на ней по отношению к функциям?

Вопрос непонятен

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Что обозначает комплексный корень уравнений любых степеней?

То, что при подстановке этого корня в уравнение получится тождество

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Как вообще построить функции в комплексной плоскости?

Никак

-- 25.05.2018, 20:31 --

Короче, как-то более внятно надо вопросы сформулировать.

[iifat]

Ну, в общем-то, комплексная функция комплексной переменной отображает комплексную плоскость в комплексную плоскость (в самом простейшем случае, к примеру, многочлена). Так что график рисовать надо в четырёхмерном пространстве. В корне значением функции будет 0, то бишь график пересечёт комплексную плоскость аналогично тому как график действительной функции пересекает в корне ось абсцисс. И таки да, представить себе это картинкой нелегко.

[Metford]

Присоединяясь к просьбе умерить любопытство и быть более последовательным в вопросах, остановлюсь на этом:

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Как вообще построить функции в комплексной плоскости?

Функцию в комплексной плоскости Вы не построите - см. сообщение iifat. А вот модуль функции - вещественное число - уже изобразить можно. Так часто делают в справочниках. Посмотреть можно, например, в справочнике по специальным функциям Янке, Эмде, Лёша.

[arseniiv]

Стоит, наверно, отличать «построить» и «построить график [приемлемо воспринимаемый]». Построить функцию можно откуда угодно куда угодно, если только не будет так, что первое множество непусто, а второе пусто. Наверно, ТС имел в виду всё же построение графика, но стоит ему явно указать, что он выразился в таком случае весьма неточно.

А дальше потелепатируем:

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Но мы можем вычислить комплексный корень. Но что он будет обозначать на плоскости?

Ничего. (Если вы имеете в виду ту плоскость, в которой вы построили график функции $f$, которым является рассматриваемая парабола, не пересекающая ось абсцисс.) Потому что это график функции $\mathbb R\to\mathbb R$, а не функции $\mathbb C\to\mathbb C$. Полиномиальные функции $\mathbb R\to\mathbb R$ и полиномиальные функции $\mathbb C\to\mathbb C$, конечно, находятся во взаимно однозначном соответствии, но это не означает, что пару таких функций нужно отождествить: график первой как раз укладывается на плоскости, а график второй требует, как уже упомянули, четырёхмерного пространства (для визуализации применяются разные трюки типа цветов или отображения вместо графика того, куда переходят разные подобласти области определения, но чисто математически требуется четырёхмерное пространство). В этом «комплексном графике» мы можем взять одно определённое сечение, которое совпадёт с графиком соответствующей вещественной функции — но никаких других связей между ними на бытовом уровне нет.

[eugensk]

PHK в сообщении #1314930 писал(а):

Как вообще построить функции в комплексной плоскости?

Если построить означает изобразить графически, то вот еще способ: нарисовать во что переходит координатная сетка на плоскости.

[vpb]

arseniiv в сообщении #1314959 писал(а):

Полиномиальные функции $\mathbb R\to\mathbb R$ и полиномиальные функции $\mathbb C\to\mathbb C$, конечно, находятся во взаимно однозначном соответствии,

Бог с Вами !

[arseniiv]

Ой, забыл про действительные коэффициенты. Их надо потребовать, конечно. Начали-то с вещественного второй степени, а дальше я что-то того.

[vpb]

ТС, а Вы читайте книжки, сначала по обыкновенному матанализу, потом по комплексному анализу, и Вам будет счастье! А так, пока неизвестен Ваш уровень образования и т.д., вообще непонятно, какое объяснение было бы сейчас адекватным.
Про визуализацию функций комплексного переменного в книжках кое-что написано, как уже замечено выше, а кроме того, кроме "общепринятых" образов, у каждого человека, по мере изучения предмета, свои в голове возникают.
-- 25.05.2018, 19:53 --

arseniiv в сообщении #1314989 писал(а):

Ой, забыл про действительные коэффициенты.

Да, надо сделать такую оговорку... .

[dmd]

Функции одной переменной проинтерпретировать можно так. Еще где-то встречал интерпретацию чётности мнимых корней, принадлежащую вроде Ньютону, которая мне очень оказалась понятна/наглядна. Но не могу её вспомнить/найти.

[grizzly]

Думаю, что про смысл комплексных корней квадратного уравнения может быть интересно посмотреть вот этот график:

(спрятал из-за большого размера)

и немного подробностей по этой ссылке.