Кое-что о кубических уравнениях

[pogulyat_vyshel]

Пусть $X,Y$ -- банаховы пространства.
$A_3:X^3\to Y$ -- непрерывная симметричная, трилинейная форма; $\|A_3(x,y,z)\|_Y\le a_3\|x\|_X\|y\|_X\|z\|_X$.

$A_2:X^2\to Y$ -- непрерывная симметричная, билинейная форма; $\|A_2(x,y)\|_Y\le a_2\|x\|_X\|y\|_X$.
$A_1:X\to Y$ -- ограниченный линейный оператор, такой, что $B_Y(a_1)\subset A_1(B_X(1))$
здесь $B_Y(a_1)$ -- замкнутый шар пространства $Y$ с центром в нуле и радиусом $a_1>0$.

$A_0\in Y$ -- просто фиксированный вектор; $\|A_0\|_Y=a_0.$

Доказать, что если уравнение $a_3\tau^3+a_2\tau^2+a_0=a_1\tau$ имеет положительный корень, то уравнение

$$A_3(x,x,x)+A_2(x,x)+A_1(x)+A_0=0$$

имеет корень.

-- 20.05.2018, 16:25 --

Соответствующее утверждение верно и для уравнения $n$ -ой степени, ну и другие весьма широкие обобщения имеются. Так что по части обобщений заранее спасибо, я в курсе.

[pogulyat_vyshel]

это не про принцип сжатых отображений, если что