2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость интеграла.
Сообщение25.05.2018, 17:23 


22/05/16
171
Спрошу в своей теме. Исследовать интеграл на сходимость $\int\limits_{0}^{1}\frac{\cos^2(ax)}{x^2}dx$. Хотел попробовать разложить функцию $\cos^2(ax)=(1-\frac{a^2x^2}{2})^2$ в ряд Тейлора в $0$. Потом исследовать на сходимость $\int\limits_{0}^{1}\frac{(1-\frac{a^2x^2}{2})^2}{x^2}dx$. Тогда получиться, что $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx +\int\limits_{0}^{1}\frac{-a^2x^2+\frac{a^4x^4}{4}}{x^2} dx$. Получим $1$ расходиться $2$ сходится? Весь интеграл расходиться ? Если сразу сравнить подынтегральную функцию $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$ с $\frac{1}{x^2}$.То $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}< \frac{1}{x^2}$ при $x \to 0$. И из расходимости $\frac{1}{x^2}$ не следует расходимость $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$.Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла.
Сообщение25.05.2018, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
dima_1985 в сообщении #1314895 писал(а):
Если сразу сравнить подынтегральную функцию $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$ с $\frac{1}{x^2}$.То $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}< \frac{1}{x^2}$ при $x \to 0$. И из расходимости $\frac{1}{x^2}$ не следует расходимость $\frac{\cos^2(ax)}{x^2}$

А я Вам предложил применить предельный признак.
Ну и на всякий случай, вот как выглядит эквивалентность у косинуса: $\cos x-1\sim 
 -\frac{x^2}{2}$. То, что Вы пытаетесь применить называется отрезок формулы Тейлора и без остаточного члена использовать это нельзя (ну, скажем так, не стОит этого делать).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла.
Сообщение25.05.2018, 17:48 
Заслуженный участник


16/02/13
4214
Владивосток
Подынтегральная функция имеет особенность в единственной точке. В прочих — вполне добропорядочная, непрерывная, ограниченная, вполне себе интегрируемая. Что если попытаться проинтегрировать её в некоторой маленькой окрестности этой самой единственной точки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла.
Сообщение25.05.2018, 18:33 


22/05/16
171
Ну да предельный признак будет проще $\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\cos^2(ax)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=1 $.Расходится . Хочу довести способ с разложением до конца $\cos^2(ax)=(1-\frac{a^2x^2}{2}+o(\frac{a^2x^2}{2}))^2 = 1-a^2x^2+o(a^2x^2) $. Дальше $\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{x^2}dx- \int\limits_{0}^{1} \frac{a^2x^2}{x^2}dx + \int\limits_{0}^{1}o(\frac{1}{x^2}a^2x^2)dx$. Дальше $1$-расходиться ,$2$-сходиться $3$-сходиться(так как $o(a^2) <  a^2$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость интеграла.
Сообщение25.05.2018, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1443
Антарктика
Лучше использовать О-большое и в последнем интеграле просто воспользоваться определением этого О-большого.

-- 25.05.2018, 20:39 --

По мне, так это пуляние из пушки по воробьям. Ну найдите задачу, в которой без этого метода не обойтись, так и посодержательнее будет, и задача будет явно посложнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group