Ряды с отрицательными и положительными элементами

[MestnyBomzh]

Да, моя ошибка, забыл про $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\sin k}{k}$. Окей, таким образом мы доказали, что $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ сходится.

То есть идея тут такая: взять главную часть, показать что она сходится. А остаток показать, что сходится абсолютно (а для абсолютной сходимости уже можно применять признак сравнения, поэтому тут уже намного проще) ?

[thething]

MestnyBomzh в сообщении #1314580 писал(а):

То есть идея тут такая: взять главную часть, показать что она сходится. А остаток показать, что сходится абсолютно (а для абсолютной сходимости уже можно применять признак сравнения, поэтому тут уже намного проще) ?

Да. Заметьте при этом, что в данном примере отдельное исследование исходного ряда на абсолютную сходимость проводить не нужно. Т.е. то, что Вы выводили там в начале по графикам, делать ни к чему.

[MestnyBomzh]

thething в сообщении #1314590 писал(а):

в данном примере отдельное исследование исходного ряда на абсолютную сходимость проводить не нужно

Угу, то есть можно было бы сказать, что из того, что $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |\frac{\sin k}{k}|$ расходится, а остаток сходится абсолютно следует то, что и исходник абсолютно не сходится?

[Null]

Это так, легко доказывается от противного.