Устойчивость положения равновестия

[pogulyat_vyshel]

Функция $f(x,y),\quad (x,y)\in\mathbb{R}^2$ голоморфна в окрестности нуля (раскладывается в нуле в сходящийся ряд Тейлора) и

$$f(0,0)=0,\quad yf(x,y)\ge 0.$$

Доказать, что если $f$ не равна тождественно нулю, то нулевое равновесие системы $\ddot x+x= f(x,\dot x)$ неустойчиво по Ляпунову.

[scwec]

Имеем систему $\dot x=y, \dot y=-x+f(x,y)$
Взяв $V=x^2+y^2$ получаем $\dot V=2yf(x,y)$
В силу регулярности $f(x,y)$ многообразие $yf(x,y)=0$ в некоторой окрестности нуля не содержит целых траекторий.
Далее применяется теорема Красовского о неустойчивости.

[pogulyat_vyshel]

именно это и предпологалось , но доказательство этого утверждения:

scwec в сообщении #1313407 писал(а):

В силу регулярности $f(x,y)$ многообразие $yf(x,y)=0$ в некоторой окрестности нуля не содержит целых траекторий.

требует некоторой аккуратности.

[scwec]

Да, это верно.
Кстати, если заменить условие $yf(x,y)\ge{0}$ на $\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}\ge{0}$ (равенство на множестве меры нуль), то тоже неустойчивость.
(Но похожее где-то на форуме уже мной упоминалось).

[Null]

По моему не совсем корректное условие. $f$ не равна(торждественно) $0$ в любой окрестности $0$ надо.

[pogulyat_vyshel]

Null в сообщении #1314256 писал(а):

$f$ не равна(торждественно) $0$ в любой окрестности $0$

это следует из условия

[Null]

Эм

$$ f(x,y)=\begin{cases} 0,&\text{если $x^2+y^2\le 1$;}\\ ye^{-\frac{1}{x^2+y^2-1}},&\text{если $x^2+y^2>1$;}\end{cases} $$

Подходит под ваши условия(там голоморфность только в окрестности 0)

[pogulyat_vyshel]

Null в сообщении #1314535 писал(а):

Эм

$$ f(x,y)=\begin{cases} 0,&\text{если $x^2+y^2\le 1$;}\\ ye^{-\frac{1}{x^2+y^2-1}},&\text{если $x^2+y^2>1$;}\end{cases} $$

Подходит под ваши условия(там голоморфность только в окрестности 0)

Совершенно пустое формальное замечание. Ну ясно же, что речь идет именно о той окрестности, в которой сходится ряд Тейлора, и про эту окрестность сказано, что функция не равна тождественно нулю. В задаче речь идет об устойчивости нулевого решения , а вы строите продожения функции на множество $x^2+y^2\ge 1$ Смешно

[Null]

То есть

pogulyat_vyshel в сообщении #1314528 писал(а):

это следует из условия

неправда. Я построил контрпример к вашему утверждению, значит Вы должны его поправить.

[pogulyat_vyshel]

Null в сообщении #1314539 писал(а):

Вы должны его поправить.

Еще не хватало, на каждое апчхи не наздороваешся.

А вот замечение по существу дела. Пусть

$$f(x,y)=ye^{-\frac{1}{x^2+y^2}}\Big(1+\sin\frac{1}{x^2+y^2}\Big),\quad x^2+y^2\ne 0, $$

и $f(0,0)=0$
эта гладкая функция удовлетворяет всем условиям задачи кроме аналитичности, она даже не равна тождественно нулю в любой окрестности нуля. При этом нулевое решение устойчиво.

[scwec]

pogulyat_vyshel в сообщении #1314543 писал(а):

Пусть

$$f(x,y)=ye^{-\frac{1}{x^2+y^2}}\Big(1+\sin\frac{1}{x^2+y^2}\Big),\quad x^2+y^2\ne 0, $$

и $f(0,0)=0$
эта гладкая функция удовлетворяет всем условиям задачи кроме аналитичности, она даже не равна тождественно нулю в любой окрестности нуля. При этом нулевое решение устойчиво.

Ясно, что оно и двухсторонне устойчиво, и для системы с обратным знаком $V=x^2+y^2$ - функция Ляпунова.
Но похоже, что для необращённой системы c приведенным выше $f(x,y)$ функции Ляпунова $W(x,y)$ нет.

[Lia]

pogulyat_vyshel
Замечание за некорректное высказывание в адрес оппонента. post1314543.html#p1314543

Null, я тоже считаю, что поправлять в этом месте не стоит. Если речь шла об окрестности, подразумевается, что и везде далее -тоже.