Спиноры, уравнение Дирака.

[Erleker]

Квантовую физику пока, вообщем, не изучал, сейчас начинаю разбираться с этим на уровне классических полей, в плоском пространстве в ИСО (в обычном случае, как я слышал, как-то обобщается с помощью тетрадного формализма).

Примерно (по книге Степаньяца, например) я могу понимать спинор как 4-кортеж каких-то объектов:

$$\Psi=\begin{pmatrix} &\psi_{1} \\ &\psi_{2} \\ &\psi_{3} \\ &\psi_{4} \end{pmatrix}$$

На который группа Лоренца действует как:

$$\Psi'=\exp\left(\frac{1}{4}a_{ik}\gamma^{ik}\right)\Psi$$

Где $\gamma^{ik}$ есть матрица:

$$\gamma^{ik}_{(\alpha \sigma)}=\frac{1}{2}(\gamma^i_{(\alpha \beta)}\gamma^k_{(\beta \sigma)}-\gamma^k_{(\alpha \beta)}\gamma^i_{(\beta \sigma)})$$

(матрицы $\gamma^i$ - некоторые общеизвестные матрицы с соотношением:$\left\lbrace\gamma^i,\gamma^k\right\rbrace=\eta^{ik}E$)

А $a_{ik}$ определяются как:

$$\Lambda^i_k=\exp(a^i_k)$$

При повороте на угол этот объект ведет себя по $\exp(-i\alpha/2)$, то есть "в два раза медленнее вектора", переходит в себя через 720 градусов.

Надеюсь, это верно?
Однако, глубже я пока не понимаю.

Не ясен вообще физический смысл того, что поворот на 360 градусов не переводит его в себя. То есть фактически, переходя к новым координатам, нужно иметь ввиду что одна СК подразумевает в себе две разные "СК" для спинора? И это играет роль в выкладках, но в реальности никак не отражается в опытах в одной ИСО или как?

Не вижу, например, почему уравнение Дирака:

$$(i\gamma^k\partial_k-m)\Psi=0$$

Лоренц-инвариантно?
Если подставлять просто выражение новых объектов через старые, то ничего дальше вроде не видится...

Так же мне нужно разобраться с этим не в контексте "это такая штука, которая ведет себя так-то", а формальнее, в контексте аглебры Клиффорда...(соответствующего и понятного мне изложения я в литературе не встретил)
Может кто-то объяснить суть?

[amon]

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Может кто-то объяснить суть?

Может Юрий Борисович Румер. У него было несколько книг на эту тему, но я бы начал с самой старой: Спинорный анализ (1936 г.). Там идеи изложены, IMHO, яснее чем в последующих.

[Metford]

Erleker, я попробую задать курс, внося небольшие коррективы.

Вы именно о спиноре говорите, не о биспиноре? Разницу, думаю, не нужно конкретизировать.

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Не ясен вообще физический смысл того, что поворот на 360 градусов не переводит его в себя.

Полагаю, Вы ведь в курсе, что спин изначально в квантовой механике связывают с трансформационными свойствами волновой функции под действием преобразований группы трёхмерных вращений. Поэтому удобно отталкиваться именно от группы трёхмерных вращений. А трёхмерным вращениям можно сопоставить - помимо прочих вариантов - унитарные матрицы $2\times 2$. Эту матрицу можно явно выписать в общем виде (посмотреть можно, например, у Гельфанда, Минлоса, Шапиро "Представления группы вращений и группы Лоренца") - и там проглядывает двузначность представления: одному повороту соответствует две матрицы. Можно попробовать некое осмысление отсюда построить. Очень советую названную выше книгу Гельфанда, Минлоса и Шапиро - раздел о представлениях с полуцелым весом. Именно в них сидят все полуцелые спины, с которыми самые весёлые развлечения.

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Не вижу, например, почему уравнение Дирака:

$$(i\gamma^k\partial_k-m)\Psi=0$$

Лоренц-инвариантно?

А это к вопросу о преобразовании компонент биспинора. И тут нужно уже разбираться в т.н. пунктирных и непунктирных индексах и правилах преобразования, заложенных в этих обозначениях.

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Так же мне нужно разобраться с этим не в контексте "это такая штука, которая ведет себя так-то", а формальнее, в контексте аглебры Клиффорда...

Вот тут я лично помочь не смогу: разумом не вышел для этого. Пусть математики расскажут или более продвинутые товарищи.

Могу назвать несколько книг, которые мне помогали в своё время:
1. Вам не обойтись без теории группы вращений и группы Лоренца, поэтому кроме ГМШ упомяну "Линейные представления группы Лоренца" Наймарка - слишком углубляться не нужно. Достаточно конечномерных представлений.
2. Вводные главы по КТП обычно содержат много полезной информации. У недавно обсуждавшегося Зи в "Квантовой теории поля в двух словах" много правильных слов сказано. Попробуйте внимательно почитать соответствующие главы. Если в собственно КТП-шные главы заглядывать не будете пока, то извлечёте ровно то, что нужно.

[Munin]

Metford в сообщении #1314205 писал(а):

Вы именно о спиноре говорите, не о биспиноре? Разницу, думаю, не нужно конкретизировать.

Объясните, пожалуйста, чем биспинор отличается от спинора Дирака.

[SergeyGubanov]

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

как-то обобщается с помощью тетрадного формализма

Да, если хотите понять что такое спинорные поля, то копать надо именно в том самом направлении. Без этого Вы ни за что и никогда не поймёте что такое спиорные поля на самом деле.

Есть такая вещь как касательное расслоение четырёхмерного пространства-времени. В каждой (неособой) точке пространства-времени определено касательное пространство. Тетрадное поле $e^{\mu}_{(a)}(x)$ состоит из четырёх векторных полей и в каждой точке $x$ образует базис касательного пространства:

$$ \eta^{(a) (b)} \, e^{\mu}_{(a)} \, e^{\nu}_{(b)} = g^{\mu \nu}, \qquad g_{\mu \nu} \, e^{\mu}_{(a)} \, e^{\nu}_{(b)} = \eta_{(a) (b)} $$

Группа Лоренца действует в касательном расслоении пространства времени:

$$ \tilde{e}^{\mu}_{(a)}(x) = e^{\mu}_{(b)}(x) \, {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x) $$

И вот на этом месте надо остановиться и как следует запомнить что же именно подвергается Лоренцевскому "вращению" -- базис касательного расслоения.

Ещё есть кокасательное расслоение с базисом $e_{\mu}^{(a)}(x)$:

$$ \eta_{(a) (b)} \, e_{\mu}^{(a)} \, e_{\nu}^{(b)} = g_{\mu \nu}, \qquad g^{\mu \nu} \, e_{\mu}^{(a)} \, e_{\nu}^{(b)} = \eta^{(a) (b)} $$

Касательный и кокасательный базисы взаимно обратны:

$$ e^{\mu}_{(a)} \, e_{\mu}^{(b)} = \delta^{(b)}_{(a)}, \qquad e^{\mu}_{(a)} \, e_{\nu}^{(a)} = \delta^{(\mu)}_{(\nu)} $$

В кокасательном расслоении пространства времени группа Лоренца тоже действует

$$ \tilde{e}_{\mu}^{(a)}(x) = {\Lambda^{(a)}}_{(b)}(x) \, e_{\mu}^{(b)}(x) $$

И так, группа Лоренца действует в касательном и в кокасательном расслоениях пространства-времени. Если вдруг Вы берёте какой-нибудь учебник, а в нём написано, что группа Лоренца действует на "компоненты векторов" или на "координаты", сами понимаете куда засунуть такой учебник. К преобразованиям компонент тензорных полей группа Лоренца не имеет ни малейшего отношения.


Но, как известно, у группы Лоренца есть т. н. спинорное представление. Это позволяет наделить пространство-время дополнительной структурой - спинорным расслоением. Гамма матрицы Дирака $\gamma_{\mu}(x)$ порождают "спинорно-матричный" базис в спинорном расслоении:

$$ \gamma_{\mu}(x) \, \gamma_{\nu}(x) + \gamma_{\nu}(x) \, \gamma_{\mu}(x) = 2 g_{\mu \nu}, \qquad \gamma^{\mu}(x) \, \gamma^{\nu}(x) + \gamma^{\nu}(x) \, \gamma^{\mu}(x) = 2 g^{\mu \nu} $$

Гамма матрицы Дирака $\gamma^{\mu}(x)$ можно выразить через тетрадные поля и константные гамма матрицы Дирака $\gamma^{(a)}$

$$ \gamma_{(a)} \, \gamma_{(b)} + \gamma_{(b)} \, \gamma_{(a)}(x) = 2 \eta_{(a)(b)}, \qquad \gamma^{(a)} \, \gamma^{(b)} + \gamma^{(b)} \, \gamma^{(a)}(x) = 2 \eta^{(a)(b)} $$

$$ \gamma^{\mu}(x) = \gamma^{(a)} \, e^{\mu}_{(a)}(x), \qquad \gamma_{\mu}(x) = \gamma_{(a)} \, e_{\mu}^{(a)}(x) $$

Наконец запишем совместное действие спинорного и тетрадного "вращения" константных гамма матриц Дирака:

$$ \tilde{\gamma}_{(a)} = S^{-1}(x) \; \gamma_{(b)} \; S(x) \; {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x) $$

Потребуем $\tilde{\gamma}_{(a)} = \gamma_{(a)}$, получим уравнения связи между спинорным и тетрадным представлением группы Лоренца:

$$ \gamma_{(a)} = S^{-1}(x) \; \gamma_{(b)} \; S(x) \; {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x) $$

Это ключевая формула для понимания спинорных полей.

Ещё раз акцентирую внимание, что группа Лоренца действует в (ко)касательном и спинорном расслоениях пространства-времени ("вращаются" их базисы), и к преобразованиям систем координат не имеет никакого отношения.

Ковариантное дифференцирование спинорных полей (вместе с уравнением Дирака) - отдельная тема, она неплохо описана в Грин, Шварц, Виттен Теория суперструн Том 2 раздел про спинорные структуры.

[Cos(x-pi/2)]

Если позволите, вставлю пару комментариев (как всегда тривиальных, "начального ученического уровня", поэтому заранее прошу извинить, если пишу это зря или не то...):

SergeyGubanov в сообщении #1314290 писал(а):

Если вдруг Вы берёте какой-нибудь учебник, а в нём написано, что группа Лоренца действует на "компоненты векторов" или на "координаты", сами понимаете куда засунуть такой учебник. К преобразованиям компонент тензорных полей группа Лоренца не имеет ни малейшего отношения.

Это утверждение выглядит удивительным и его, наверое, хорошо бы пояснить (ведь в учебниках часто пишут, что можно преобразования рассматривать и как "пассивные" - когда преобразованию подвергаются базисы, а не компоненты объектов, и как "активные" - когда преобразуются компоненты объектов в фиксированном базисе). Вот, вроде бы, довольно общее рассуждение:

Пусть объекты $\mathbf{e}_{(a)}$ образуют базис в каком-либо линейном пространстве. Если речь о касательном расслоении, то аргумент $x$ для краткости не пишу; вместо индекса $\mu$ - жирная буква, указывающая на "многокомпонентность" базисного объекта: это может быть в определённом смысле "вектор", "тензор", "спинор", сейчас неважно. Индекс в скобках нумерует базисные объекты. Тогда объект $\mathbf{A}$ той же природы (скажем, "векторное поле" в точке $x):$

$$\mathbf{A}=A^{(a)}\mathbf{e}_{(a)},$$

где $A^{(a)}$ - компоненты $\mathbf{A}$ в данном базисе ("без тильды").

Пусть $T(G)$ - линейные операторы, действующие в этом пространстве и представляющие тем самым элементы $G$ какой-либо группы. Тогда:

$$T\mathbf{A}=A^{(a)}T\mathbf{e}_{(a)}.$$

Преобразованные базисные объекты $\tilde{\mathbf{e}}_{(a)}=T\mathbf{e}_{(a)}$ разложим по исходному базису (записываю индексы аналогично Вашей записи $ \tilde{e}^{\mu}_{(a)}(x) = e^{\mu}_{(b)}(x) \, {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x)):$

$$T\mathbf{e}_{(a)}={T^{(b)}}_{(a)}\mathbf{e}_{(b)}.$$

Тогда:

$$T\mathbf{A}=A^{(a)}{T^{(b)}}_{(a)}\mathbf{e}_{(b)}=\tilde{A}^{(b)}\mathbf{e}_{(b)},$$

где:

$$ \tilde{A}^{(b)}={T^{(b)}}_{(a)}A^{(a)}.$$

Посмотрим, реализуются ли при такой трансформации компонент поля матрицами ${T^{(b)}}_{(a)}$ групповые свойства преобразований. Пусть $G=G_2G_1,$ так что

$$T=T_2T_1,$$

где $T_2=T(G_2),\, T_1=T(G_1).$
Тогда:

$$T_2T_1\mathbf{e}_{(a)}=T_2T_1^{(b)}}_{(a)}\mathbf{e}_{(b)}={T_1^{(b)}}_{(a)}T_2\mathbf{e}_{(b)}={T_1^{(b)}}_{(a)}{T_2^{(c)}}_{(b)}\mathbf{e}_{(c)},$$

и тогда в исходном базисе для компонент преобразованного поля

$$T_2T_1\mathbf{A}=\tilde{A}^{(c)}\mathbf{e}}_{(c)}$$

имеем желаемую формулу - с произведением матриц $T_2$ и $T_1$ в нужной последовательности:

$$\tilde{A}^{(c)}={T_2^{(c)}}_{(b)}{T_1^{(b)}}_{(a)}A^{(a)}.$$

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

При повороте на угол этот объект ведет себя по $\exp(-i\alpha/2)$, то есть "в два раза медленнее вектора", переходит в себя через 720 градусов.

Надеюсь, это верно?
Однако, глубже я пока не понимаю.

Не ясен вообще физический смысл того, что поворот на 360 градусов не переводит его в себя.

Если совсем по-детски, "от печки" (по-другому я и не понимаю ничего), то в нерелятивистской квантовой механике можно представить себе такой прибор - "магнит Штерна-Герлаха с вертикальной осью $z$", - что каждый электрон со спином $1/2$, пролетая горизонтально через этот прибор, отклоняется либо вверх (и тогда мы говорим, что электрон из прибора вылетел в спиновом состоянии $|1\rangle),$ либо вниз (и тогда мы говорим, что электрон из прибора вылетел в спиновом состоянии $|2\rangle).$

Если электроны ещё раз пропускать через такой же прибор, то электрон в состоянии $|1\rangle$ уже обязательно отклоняется вверх (т. е. остаётся в состоянии $|1\rangle),$ а электрон в состоянии $|2\rangle$ обязательно отклоняется вниз, т. е. остаётся в состоянии $|2\rangle.$

Поскольку это различимые альтернативы, то состояния $|1\rangle$ и $|2\rangle$ считаются ортогональными в "пространстве спиновых состояний" (их скалярное произведение $\langle 2|1\rangle =0,$ так как в КМ это есть амплитуда вероятности обнаружить результат "2" у частицы в состоянии "1", и наоборот.) А поскольку альтернатив всего две, то $|1\rangle$ и $|2\rangle$ образуют базис в двумерном "пространстве спиновых состояний".

Перевернём прибор вверх тормашками, т. е. повернём его на $180^{\circ}$ в нашем физическом трёхмерном мире. В этом новом приборе электроны в прежнем состоянии $|1\rangle$ отклоняются "к новому низу" (т.е. к прежнему верху), а электроны в состоянии $|2\rangle$ отклоняются "к новому верху" (т.е. к прежнему низу).

Поэтому можно считать, что повёрнутому так на $180^{\circ}$ прибору соответствует новый базис $|1'\rangle,$ $|2'\rangle$ "в пространстве спиновых состояний", и он получается там поворотом на $90^{\circ}$ старого базиса: $|1'\rangle=|2\rangle,$ $|2'\rangle=-|1\rangle.$

Если теперь поворачивать прибор в том же направлении ещё на $180^{\circ}$ (он при этом принимает исходное положение), то резонно считать "по непрерывности", что базис продолжает преобразовываться "в пространстве спиновых состояний" в том же духе ещё поворотом на $90^{\circ}:$

$|1''\rangle=|2'\rangle=-|1\rangle,$
$|2''\rangle=-|1'\rangle=-|2\rangle.$

Это есть наглядное объяснение повороту "спиноров в случае спина $1/2$ на половинный угол в пространстве спиновых состояний" при повороте прибора на заданный угол в нашем трёхмерном мире. "Спинорный минус", возникающий при повороте в трёхмерном мире на $2\pi,$ затем хитро проявляется в связи спина и статистики. Затем нерелятивистский спинор надо ещё хитро поженить с теорией относительности (при этом для описания частиц со спином $1/2$ с ненулевой массой приходится вводить в дело биспиноры). И в КТП всё это (а может, и не только это или не всё) как-то хитро оборачивается тем, что компоненты спинорных полей следует считать не обычными числами, а антикоммутирующими "грассмановыми переменными" (и это уже далеко за границами "островка безопасности" моих знаний...).

[Walker_XXI]

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Не вижу, например, почему уравнение Дирака:
Лоренц-инвариантно?
Если подставлять просто выражение новых объектов через старые, то ничего дальше вроде не видится...

Раз начали со Степаньянца, то там бы и посмотрели, параграф 3.1.3.

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Так же мне нужно разобраться с этим не в контексте "это такая штука, которая ведет себя так-то", а формальнее, в контексте аглебры Клиффорда...(соответствующего и понятного мне изложения я в литературе не встретил)

Посмотрите Болохов, Ляховский "Группы симметрии и элементарные частицы", Гл.2, $\S 7$ и Гл.9 $\S 3$ (в частности, п.34 (Уравнение Дирака)). И вообще там много интересного.

SergeyGubanov в сообщении #1314290 писал(а):

Наконец запишем совместное действие спинорного и тетрадного "вращения" константных гамма матриц Дирака:

$$ \tilde{\gamma}_{(a)} = S^{-1}(x) \; \gamma_{(b)} \; S(x) \; {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x) $$

SergeyGubanov, Вы бы пояснения к своим обозначениям давали, чтобы человеку легче было разобраться.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1314349 писал(а):

Это утверждение выглядит удивительным и его, наверое, хорошо бы пояснить (ведь в учебниках часто пишут, что можно преобразования рассматривать и как "пассивные" - когда преобразованию подвергаются базисы, а не компоненты объектов, и как "активные" - когда преобразуются компоненты объектов в фиксированном базисе).

Согласен, и это тоже.

[lek]

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Не вижу, например, почему уравнение Дирака:

$$(i\gamma^k\partial_k-m)\Psi=0$$

Лоренц-инвариантно?
Если подставлять просто выражение новых объектов через старые, то ничего дальше вроде не видится...

Так же мне нужно разобраться с этим не в контексте "это такая штука, которая ведет себя так-то", а формальнее, в контексте аглебры Клиффорда...(соответствующего и понятного мне изложения я в литературе не встретил)

Запишем лагранжиан

$$ \mathcal{L_{\psi}}=\bar{\psi}i\Gamma^{\mu}(\partial_{\mu}+A_{\mu})\psi-m\bar{\psi}\psi, $$

где компоненты спиноров $\psi=(\psi_{1},\dots,\psi_{n})$ и $\bar{\psi}=\psi^{\dag}\Gamma^0$ принимают значения в пространстве представления группы Лоренца $SO(1,d-1)$, а векторные поля $A_{\mu}$ являются матрицами размера $n\times n$. Рассмотрим инфинитезимальное преобразование спинорного поля

$$ \psi\to\psi'=U\psi,\qquad U=1+\alpha^{\mu\nu}\Gamma_{\mu\nu}. $$

Поскольку матрицы $\Gamma_{\mu\nu}$ являются генераторами $SO(1,d-1)$, для доказательства лоренц-инвариантности лагранжиана достаточно рассмотреть только такие преобразования. Воспользуемся тождествами

$$ \Gamma_{\mu}^{\dag}=\Gamma^{\mu},\qquad \Gamma_{\mu}^{\dag}\Gamma_{0}=\Gamma_{0}\Gamma_{\mu}. $$

Будем иметь

$$ \mathcal{L'_{\psi}}=\bar{\psi}i\Gamma'^{\mu}D_{\mu}\psi-m\bar{\psi}\psi,\qquad \Gamma'^{\mu}=U^{-1}\Gamma^{\mu}U. $$

Замечая, что матрицы $\Gamma^{\mu}$ в лагранжиане $\mathcal{L_{\psi}}$ определены с точностью до сопряжения (с точностью до выбора базиса в пространстве спиноров), доказываем лоренц-инвариантность исходного лагранжиана, а следовательно и уравнений Дирака.

PS
Все это легко переписать используя алгебры Клиффорда. В этом случае $\Gamma_{\mu}$ - ее порождающие, $\psi$ и $\bar{\psi}$ - элементы минимальных левых и правых идеалов, а $Spin(1,d-1)$ - группа симметрии (см. здесь).

[arseniiv]

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

а формальнее, в контексте аглебры Клиффорда...(соответствующего и понятного мне изложения я в литературе не встретил)

О, поищите мои вопросы про спиноры, мне здесь разные люди много всякой литературы насоветовали — что-нибудь может понравиться.

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Не ясен вообще физический смысл того, что поворот на 360 градусов не переводит его в себя. То есть фактически, переходя к новым координатам, нужно иметь ввиду что одна СК подразумевает в себе две разные "СК" для спинора? И это играет роль в выкладках, но в реальности никак не отражается в опытах в одной ИСО или как?

Тут уже написали много вещей на пальцах, я своё напальцевое понимание после чтения Пенроуза тоже добавлю: спинорная структура первичнее, чем тензорная, так что сводить всё надо наоборот. Пенроуз и это делал, но тут я его уже не понял, потому что он делал всё в координатах. (Кстати как раз в одной из книг про спиноры, которые посоветовали, кажется, было такое появление тензоров из спиноров в инвариантной формулировке, но я после первого чтения ничего там не понял тоже — но то я.)

-- Ср май 23, 2018 21:29:55 --

arseniiv в сообщении #1314384 писал(а):

так что сводить всё надо наоборот

Пояснение: мы же не удивляемся, что симметричный тензор второго ранга совпадает с собой уже после полуоборота вектора — но нам привычно, что векторы сначала, а всякие хитрые тензоры после. А тут, оказывается, возможно, надо начинать со спиноров и аналогично лишь после строить всё остальное.

[SergeyGubanov]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1314349 писал(а):

Это утверждение выглядит удивительным и его, наверое, хорошо бы пояснить

Cовместное действие спинорного и тетрадного "вращения" константных гамма матриц Дирака:

$$ \tilde{\gamma}_{(a)} = S^{-1}(x) \; \gamma_{(b)} \; S(x) \; {\Lambda^{(b)}}_{(a)}(x) \eqno(1) $$

Cовместное действие общекоординатного преобразования и тетрадного "вращения" гамма матриц Дирака:

$$ \tilde{\gamma}_{\mu} (\tilde{x}) = S^{-1}(x) \; \gamma_{\nu}(x) \; S(x) \; \frac{\partial x^{\nu} }{\partial \tilde{x}^{\mu}} \eqno(2) $$

В (1) в общем случае совместное действие преобразований может быть согласовано друг с другом $\tilde{\gamma}_{(a)} = \gamma_{(a)}$. То есть произвольный локальный Лоренцев "поворот" эквивалентен какому-то спинорному "повороту" (пусть и двузначно).

В (2) в общем случае такого согласования сделать не получится, то есть преобразования координат (преобразования компонент тензорных полей) вообще никак не связаны со спинорными "вращениями". По отношению к преобразованиям координат спинорные поля ведут себя как наборы скаляров.

-- 23.05.2018, 20:04 --

arseniiv в сообщении #1314384 писал(а):

спинорная структура первичнее, чем тензорная, так что сводить всё надо наоборот

Тензорные поля "чувствуют" преобразования системы координат $x^{\mu}$. Спинорные поля "чувствуют" вращения тетрады $e^{\mu}_{(a)}$ (то есть преобразования системы отсчёта). Друг с другом они не связаны: система координат и система отсчёта независимы друг от друга. Никто из них не первичнее другого.

[Walker_XXI]

lek в сообщении #1314378 писал(а):

Запишем лагранжиан...

В упомянутом ТС учебнике Степаньянца есть Задача 5 к параграфу 3.1.3, где доказывается, что

Цитата:

выражения $\bar{\psi}\chi$ и $\bar{\psi}\gamma_5\chi$ преобразуются как скаляры, $\bar{\psi}\gamma^\mu\chi$ и $\bar{\psi}\gamma^\mu\gamma_5\chi$ - как векторы, а $\bar{\psi}\gamma^{\alpha\beta}\chi$ - как тензор второго ранга. Как следствие, функция Лагранжа для спинорного поля (3.14) будет являться скаляром относительно преобразований Лоренца. Это в частности означает, что соответствующее действие будет инвариантным относительно этих преобразований.

Здесь $\psi,\, \chi$ - дираковские спиноры. Собственно и оператор Дирака - тоже скаляр по группе Лоренца, откуда также следует инвариантность.

P.S. Если быть точным, в упомянутой задаче речь идёт о связной компоненте группы Лоренца, а так, разумеется, объекты с $\gamma_5$ - псевдо-.

[lek]

Walker_XXI в сообщении #1314396 писал(а):

В упомянутом ТС учебнике Степаньянца есть Задача 5 к параграфу 3.1.3 ...

Все верно. Не ясно только как все это связать с алгебрами Клиффорда, о чем спрашивал ТС.

[Walker_XXI]

lek в сообщении #1314414 писал(а):

Не ясно только как все это связать с алгебрами Клиффорда, о чем спрашивал ТС.

Ну так $\gamma$-матрицы Дирака являются образующими алгебры Клиффорда (и одновременно матричным представлением спинорной группы $\mathrm{Spin}(3,1)$).

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #1314390 писал(а):

преобразования координат (преобразования компонент тензорных полей)

Вы выше говорили, что базис касательного и кокасательного расслоений — именно тетрада. А теперь неожиданно ставите равенство между преобразованиями координат и преобразованиями компонент тензорных полей, хотя какое тут может быть равенство, если компоненты тензоров определяются именно базисом (ко)касательного пространства и преобразования координат эти компоненты, вообще говоря, не меняют.

[Geen]

Erleker в сообщении #1314200 писал(а):

Не ясен вообще физический смысл того, что поворот на 360 градусов не переводит его в себя.

Рискну задать свой "дурацкий" вопрос - это связано с теоремой о "причёсывании ежа"?