Сравнения сил натяжения нити маятников

[AlexeyM88]

Задача: Сравнить модуль силы натяжения нити математического маятника в крайнем положении с модулем силы натяжения нити конического маятника; длины нитей, массы грузиков и углы отклонения маятников одинаковы.
Я так понимаю, что нужно расписать проекции всех действующих сил на оси и потом сравнить уравнения сил натяжения для обоих маятников. За ось Y возьмем параллельно нити маятника.
Для математического маятника в момент крайнего отклонения:
$Y: P + mg \cdot \cos(\alpha) = 0$
А на ось X какое уравнение получается тогда? Ведь на маятник действует сила $mg \cdot \sin(\alpha)$ и он под действием этой силы двигается в сторону точки равновесия. А как правильно записать это согласно второму закону Ньютона?
Прошу, подскажите. Не могу найти материал с нормальным объяснением.

[amon]

Давайте попробуем с другого конца. Силы ведь как-то связаны с ускорениями (как?). И что там с ускорениями для математического и конического маятников?

[AlexeyM88]

amon, если в общем случае, то $F = m\cdot a$, согласно второму закону Ньютона.
Я так думаю, что: $ X: ma = m\cdot g\cdot \sin(\alpha)$ или $a = g\cdot \sin(\alpha)$. Ведь маятник имеет нулевую скорость и максимальное ускорение в крайних точках. Верно?

[amon]

Куда направлено ускорение для конического и математического маятников?

[AlexeyM88]

Для математического: тангенциальное ускорение - по касательной, нормальное ускорение - к центру подвеса (по нормали).
Для конического, честно сказать, затрудняюсь так сразу ответить...

-- 21.05.2018, 21:41 --

Для конического, я полагаю, к центру описываемой окружности.

-- 21.05.2018, 22:16 --

Для конического маятника сила натяжения равна: $P = mg/\cos(\alpha)$ Верно?

-- 21.05.2018, 22:28 --

P1 - сила натяжения математического маятника.
P2 - сила натяжения конического маятника.
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \frac{\frac{m\cdot g}{\cos(\alpha)}}{ m\cdot g \cdot \cos(\alpha)} = \frac{1}{\cos(\alpha)^2}$
Верно?

[amon]

AlexeyM88 в сообщении #1313946 писал(а):

Для конического, я полагаю, к центру описываемой окружности.

Угу.
А в верхней точке у математического маятника есть нормальное ускорение? В общем, мне кажется, что задачку Вы почти решили. Осталось нарисовать две картинки (не мудрствуя, ось $Y$ вертикальная), и, по-моему, все должно получиться.

[AlexeyM88]

Цитата:

А в верхней точке у математического маятника есть нормальное ускорение?

В верхней точке скорость равна нулю, а нормальное ускорение $\frac{V^2}{R}$, очевидно, что оно равно нулю.
У нас просто не было установочной лекции, где хоть как-то объясняют. Приходится разбираться самому.

[rascas]

Только не

AlexeyM88 в сообщении #1313946 писал(а):

${\cos(\alpha)^2}$

а
${\cos^2(\alpha)}$
Это большая разница.

[AlexeyM88]

rascas, в чём эта разница? Можно записать и так $\cos^2(\alpha)$, и так $(\cos(\alpha))^2$. Разницы нет. В степень возводится функция, а не её аргумент.

[rascas]

Между $\cos^2(\alpha)$ и $(\cos(\alpha))^2$ разницы нет. Здесь возводим косинус в квадрат.
А в случае записи $\cos(\alpha)^2$ , возможно не верное понимание, что возводят величину $\alpha$ в квадрат а потом от полученного значения берут косинус.
Ваша запись $\cos(\alpha)^2$ вводит в заблуждение.

[AlexeyM88]

rascas, может быть, но если бы я хотел, чтобы было $\alpha^2$, то написал бы $\cos(\alpha^2)$

[amon]

AlexeyM88 в сообщении #1313946 писал(а):

Верно?

Верно. А то - лекции, лекции. Голова!

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

AlexeyM88 в сообщении #1314050 писал(а):

rascas, может быть, но если бы я хотел, чтобы было $\alpha^2$, то написал бы $\cos(\alpha^2)$

Просто в отношении ряда наиболее употребительных выражений (а возведение в степень тригонометрических функций относится к таким) есть определённые устоявшиеся правила и традиции, и чтобы Вас правильно понимали другие, следует этих традиций придерживаться.

В частности, в математике аргументы тригонометрических функций, если они выражаются одночленом, не принято заключать в скобки, пишут $\cos 2\alpha^2$, а не $\cos (2\alpha^2)$ (хотя у программистов в данном случае ставятся скобки, т.к. это требование синтаксиса языков программирования; из-за ограничения при наборе формул средствами обычных текстовых редакторов в интернете порой используют программистские правила).

Как Вам написали выше, степень, в которую возводится результат взятия тригонометрической (и любой другой) функции, принято писать сразу после значка/имени функции перед аргументом. Это правило можно рассматривать и так, что знак возведения в степень вместе с именем функции является как бы новым единым символом - оператором функции (например, "косинус-квадрат").

В то же время запись $\cos (2\alpha+3\beta)^5$ по общепринятым правилам однозначно трактуется, как $\cos ((2\alpha+3\beta)^5)$.

(Добавление от 23.05.18)

По правде сказать, в данной теме это мелочи, придирки, которые ничего не добавляют к пониманию физики и только уводят в сторону. Так что, по большому счёту, тему записи квадрата косинуса вообще не стоило поднимать.

[AlexeyM88]

Walker_XXI, спасибо. В следующий раз буду иметь ввиду. Но скобки всё равно стараюсь писать, во избежание путаницы при произведении нескольких множителей.

[S-DioniS]

Здравствуйте, уважаемые. Понимаю, что тема мхом поросла, однако хотелось бы прояснить один момент.

В моём решении этой задачи для математического маятника 2-й Закон Ньютона в проекциях на оси (OY - вертикально вверх, OX - горизонтально, сонаправлено с ускорениями):

OY: $P(1)\cos(\alpha) - mg = - a(t)\sin(\alpha)$
OX: $P(1)\sin(\alpha) = a(t)\cos(\alpha)$

Где a(t) - тангенциальное ускорение грузика математического маятника.

Выражая a(t) из проекции на OX:

a(t) = $\frac{P(1)\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Подставляя в проекцию на OY:

P(1)\cos(\alpha) + $ $\frac{P(1)\sin^2(\alpha)}{\cos(\alpha)} = mg$

P(1)$\frac{1}{\cos(\alpha)}$ = mg

$P(1) = mg\cos(\alpha)$

Для конического маятника имеем:

$OY: P(2)\cos(\alpha) - mg = 0$
$OX: P(2)\sin(\alpha) = a(n)$

Где a(n) - нормальное ускорение грузика конического маятника.

Из проекции на OY:

$P(2) = $ $\frac{mg}{\cos(\alpha)}$

В итоге:

$\frac{P(1)}{P(2)}$ $= \cos^2(\alpha)$

В представленном выше решении всё с точностью до наоборот.

В общем и целом, перепутаны или сами маятники, или чертежи, или ещё что-то.

Подскажите пожалуйста, всё так, или это я ошибаюсь и что-то недопонял?