Как интегрировать интенсивность по кругу?

[randy]

Имеется некоторая физическая величина $I_0$ с размерностью плотности мощности (интенсивности), т.е ватт на сантиметр квадратный.
Имеется пучок света с радиальной по поперечному сечению симметрией, в котором интенсивность пучка в центре равна $I_0$, а интенсивность при отдалении к периферии изменяется по закону $I(x)=I_0 \cdot \exp[x/w]$, где $x$ - координата вдоль радиуса пучка (диапазон значений $x$ от 0 до 1), $w$ - радиус пучка света.
В расчете использован следующий метод вычислений: пучок света в поперечной плоскости разбивается на точки, в которых происходит вычисление интенсивности. Так как пучок имеет радиальную симметрию, то достаточно рассмотреть только одномерный массив из $N$ точек (соответствуют точкам от центра пучка до его периферии). При этом расстояние между точками растет по экспоненте при увеличении радиальной координаты. (в центре пучка точки расположены наиболее кучно, при отдалении к периферии пучка точки все сильнее удаляются друг от друга).
Правильно ли я делаю, когда суммирую значения интенсивности для всех точек, делю эту сумму на кол-вол точек вдоль радиуса пучка, а дальше умножаю на $\pi \cdot R^2$, чтобы получить значение интенсивности всего круглого пучка, или же нужно умножать на $2 \pi \cdot \R$?
Вот поясняющая картинка (кнопка Img из формы почему-то не добавляет картинку) http://rgho.st/8Fzs4DmSm/image.png

[Theoristos]

randy в сообщении #1313347 писал(а):

Правильно ли я делаю, когда суммирую значения интенсивности для всех точек, делю эту сумму на кол-вол точек вдоль радиуса пучка, а дальше умножаю на $\pi \cdot R^2$

Неправильно. Причём два раза.
1. Если исходная величина - плотность мощности по площади, то надо умножать на элемент площади и интегрировать.
2. В цилиндрической системе координат элемент площади $dS = R\cdot dR\cdot d\phi$.
3. Если интенсивность от угла не зависит - можно сразу проинтегрировать по всему диапазону $\phi$, будет $dS = 2\pi R\cdot dR$
4. Теперь надо проинтегрировать по радиусу, с учетом весового множителя от элемента площади. Так как точки расположены неравномерно, то просто "просуммировать значения" будет неверно, надо как-то интерполировать результат между ними. Или хотя бы вместо $dR$ брать неравномерные $\Delta R_i$. Хотя, если плотность действительно меняется по экспоненте - проинтегрировать несложно и аналитически.

[randy]

Если плотность мощности (ватты на сантиметр квадратный) домножить на площадь (сантиметры квадратные), то в размерности останутся только ватты, т.е получаем другую физическую величину, нет? Не понял, как вы предлагаете считать. Формула для расчета пл мощн в точке задана способом моделирования решаемой задачи. Такое выбрано приближение, что интенсивность в точке вычисляется по формуле $ I_0 \cdot \exp [...] $ здесь прописана зависимость от рмдиуса пучка, которая ведет к эаспоненциальному уменьшению исходной интенсивности в центре при отдалении к периферии пучка. и уже эту величину (интенсивность в конкретной точке) можно пытаться интегрировать по углу 360 град, чтобы получить пл мощн не в точке, а в узком диске. Объясните, где ошибаюсь. И если все-таки нужно домножать на площадь (предполагаю, чтобы учесть факт того, что $I_0 $ падает не на сантиметр квадратный, а в малую точку), то как тогда перейти после расчетов плотности мощности в световом пятне к значению мощности, заключенной в световом пятне

[EUgeneUS]

randy в сообщении #1313766 писал(а):

Не понял, как вы предлагаете считать.

Очень жаль, уважаемый Theoristos объяснил всё кратко и верно.
Попробую чуть более многословно, может поможет.

1. Чтобы получить мощность луча, нужно проитегрировать его интенсивность не "по точкам", а "по площади".
2. Вот так:
а) Ваш круг надо разбить на маленькие площадки, площадь $i$-й площадки: $S_i$
б) Умножить интенсивность на площадь каждой площадки
в) Просуммировать по по всем площадкам.
3. Когда площадь каждой площадки устремим к нулю - перейдем к интегралу. Интегралу по поверхности.

4. В Вашем случае удобно использовать цилиндрическую систему координат (на плоскости поперек оси Z, которую мы выбрали вдоль луча, она переходит в полярную).
5. Круг разбивается на площадочки линиями $\varphi = \operatorname{const}$ (лучи из центра координат) и $R = \operatorname{const}$ (окружности вокруг центра координат). Причем линии надо проводить через равные промежутки (для первых - угла ($\Delta \varphi$), для вторых - радиуса ($\Delta R$)). Это нужно, чтобы потом аккуратно перейти к интегралу.
6. Легко видеть, что площадь площадки зависит от того, где она расположена. Чем дальше по радиусу, тем больше площадь. При этом такое положение дел будет сохраняться и при более мелком дроблении.
7. Площадь элементарной будет: $S_i = \Delta \varphi R \Delta R$. В пределе, при переходе к интегралу, получим, то, что написал Theoristos: $dS = R\cdot dR\cdot d \varphi$

[wrest]

randy
Ну или можно представить сразу вместо суммирования площадок -- суммирование колечек (т.к. внутри тоненького колечка интенсивность можно считать постоянной).
Длина колечка радиуса $r$ будет равна $2\pi r$, а площадь колечка, в связи с тем что его длина много больше ширины -- это ширина колечка умножить на длину колечка, ширина пусть будет $dr$ так что площадь тогда $2\pi r dr$
Интенсивность, которую надо проинтегрировать, у вас задана как функция только от радиуса $r$, $I=I(r)$ так что вклад от интенсивности по одному колечку будет $2\pi r I(r) dr$ ну а по всему кругу -- это сумма вкладов интенсивностей по каждому колечку, то есть интеграл от $r=0$ до $r=R$.

В ваших обозначениях выходит что-то типа

$$P=\int \limits_0^1 2\pi x I(x)dx=2\pi I_0 \int \limits_0^1xe^{[x/w]}dx$$

Не знаю что у вас квадратные скобки означают, поэтому оставил их там. Если ничего этакого не обозначают (т.е. можно их убрать), то интеграл легко берется, справитесь?

[randy]

wrest в сообщении #1313791 писал(а):

randy
Ну или можно представить сразу вместо суммирования площадок -- суммирование колечек

Суммирование (интегрирование) интенсивностей в кольцах должно производиться для бесконечно тонких колец, верно? Ведь, если поперечное сечение разбить, например, на 50 колец или на 1000 колец, то рассчитанная интенсивность для всего пучка (с очень большим приближением) будет пропорциональна в первом случае коэффициенту 50, а во втором случае - коэффициенту 1000. Итоговое значение рассчитанной интенсивности будет отличаться в ~20 раз, в зависимости от того, как произведена дискретизация поперечного сечения пучка.
Поэтому я и предложил в первом посте приближенный вариант решения, где на первом шаге ищется усредненная по поперечному сечению интенсивность, а далее мы эту усредненную интенсивность умножаем на площадь поперечного сечения пучка, и получаем мощность
1. $I_{sum}=I_1+I_2+...+I_n$, где $n$ - количество точек разбиения по радиусу пучка
2. $I_{average}=I_{sum}/n$
3. $P=I_{average}/(\pi R^2)$, где $R$ - радиус светящего пучка

[wrest]

randy в сообщении #1313796 писал(а):

Суммирование (интегрирование) интенсивностей в кольцах должно производиться для бесконечно тонких колец, верно?

Естетсвенно.

randy в сообщении #1313796 писал(а):

Ведь, если поперечное сечение разбить, например, на 50 колец или на 1000 колец, то рассчитанная интенсивность для всего пучка (с очень большим приближением) будет пропорциональна в первом случае коэффициенту 50, а во втором случае - коэффициенту 1000. Итоговое значение рассчитанной интенсивности будет отличаться в ~20 раз,

Не, это вы придумываете чего-то. В 20 не будет, думаю.

randy в сообщении #1313796 писал(а):

Поэтому я и предложил в первом посте приближенный вариант решения, где на первом шаге ищется усредненная по поперечному сечению интенсивность,

Ну он просто неверный...
Допустим, у вас интенсивность $I(x)=I_0$ это константа равная $I_0$ (т.е. в ваших обозначениях $w \gg 1$).

randy в сообщении #1313796 писал(а):

1. $I_{sum}=I_1+I_2+...+I_n$, где $n$ - количество точек разбиения по радиусу пучка
2. $I_{average}=I_{sum}/n$
3. $P=I_{average}/(\pi R^2)$, где $R$ - радиус светящего пучка

Тогда $I_{average}=I_0$ и по-вашему $P=I_0/(\pi R^2)$
А должно быть, очевидно, $P=I_0 \cdot S=I_0 \cdot \pi R^2$

[EUgeneUS]

randy в сообщении #1313796 писал(а):

Ведь, если поперечное сечение разбить, например, на 50 колец или на 1000 колец, то рассчитанная интенсивность для всего пучка (с очень большим приближением) будет пропорциональна в первом случае коэффициенту 50, а во втором случае - коэффициенту 1000.

Нет, конечно. Мы же суммируем интенсивность умноженную на площадь кольца, а площадь кольца уменьшается с ростом количества колец.

[randy]

wrest в сообщении #1313801 писал(а):

А должно быть, очевидно, $P=I_0 \cdot S=I_0 \cdot \pi R^2$

Именно это и хотел написать
вместо деления на площадь поперечного сечения - умножение

[wrest]

randy в сообщении #1313803 писал(а):

вместо деления на площадь поперечного сечения - умножение

Ok.

Но это приближение будет не очень хорошее.

Допустим интенсивность растет от центра к краям и $I(x)=I_0e^{x/w}$ причем $w=1$, то есть интенсивность на краях ($x=1$) в $e$ раз больше чем в центре ($x=0$).
Тогда средняя интенсивность вдоль радиуса ($0<x<1$) будет равна $I_{avarage}=I_0(e-1)$, и мощность, посчитанная по вашему приближенному методу, будет равна $I_0 \cdot (e-1) \cdot \pi \approx I_0 \cdot 5,39 $, а "настоящая" (не приближенная) мощность будет равна $P=I_02\pi \approx I_0 \cdot 6,28$

Пусть теперь интенсивность падает от центра к краям, то есть $I(x)=I_0e^{(1-x)/w}$ и опять $w=1$
Тогда средняя интенсивность вдоль радиуса будет равна тому же что и в предыдущем случае $I_{avarage}=I_0(e-1)$, по вашему методу опять получится $P=I_0 \cdot (e-1) \cdot \pi \approx I_0 \cdot 5,39 $, а "настоящая" мощность будет теперь: $P=I_02\pi (e-2) \approx I_0 \cdot 4,51$

[Walker_XXI]

Во-первых, насчёт условий.

randy в сообщении #1313347 писал(а):

интенсивность при отдалении к периферии изменяется по закону $I(x)=I_0 \cdot \exp[x/w]$, где $x$ - координата вдоль радиуса пучка (диапазон значений $x$ от 0 до 1), $w$ - радиус пучка света

Может я чего-то не так понимаю, но мне кажется, здесь у Вас ошибка в формулировке условий. Почему диапазон значений $x$ от 0 до 1? В каких единицах измеряется $x$? Скорее всего имелось ввиду, что если настоящую координату вдоль радиуса пучка (измеряемую в сантиметрах) обозначить $r$, то $x = r/w$. Тогда всё логично и на границе пучка, когда $r=w$, $x$ действительно равна 1. Но в этом случае интенсивность описывается формулой $I(x)=I_0 e^x$.

Кроме того, пучок у Вас немного странный. Обычно на оси интенсивность максимальна и убывает к периферии, у Вас же интенсивность в центре пятна минимальна и растёт к краям. Но может так и надо, может и вправду такой пучок.

Во-вторых, что касается расчётов и интегрирования.

randy в сообщении #1313347 писал(а):

дальше умножаю на $\pi \cdot R^2$, чтобы получить значение интенсивности всего круглого пучка, или же нужно умножать на $2 \pi \cdot \R$

Что значит "интенсивности всего круглого пучка"? Судя по вычислениям и дальнейшему обсуждению, Вам нужно найти мощность. Давайте разбираться. В простейшем случае, если есть интенсивность и нужно найти мощность, то достаточно умножить интенсивность на площадь (сечения пучка). Т.е. не просто $2\pi$, но и множитель $R^2$ должен быть. Далее Вы правильно заметили, что простым умножением не обойтись, т.к. интенсивность не постоянна по площади, и надо как-то это учитывать. Но, разумеется, не таким усреднением по точкам, как сделали Вы.

Вспомните, как вводилось понятие определённого интеграла через интегральные суммы и подсчёт площади под графиком функции: ось $x$ разбивали на маленькие промежутки, на протяжении которых значение функции можно было считать почти неизменным и равным значению в середине промежутка, и получали сумму площадей маленьких прямоугольничков почти нулевой ширины. Тут идея та же: разбиваем радиус пучка на маленькие отрезки, на протяжении которых считаем интенсивность почти неизменной и заменяем на значение $I(x)$ в середине такого промежутка. При подсчёте площади под графиком значение функции в середине отрезка $f(x)$ (высоту прямоугольника) умножали на длину промежутка $\Delta x$. В нашем случае значение интенсивности в точке (на расстоянии x от центра пучка) $I(x)$ умножаем не просто на длину промежутка $\Delta x$, а на площадь всего колечка, где интенсивность имеет данное значение, т.е. получаем $I(x)2\pi x\Delta x$. В пределе разбиения на бесконечно большое число промежутков получим интеграл $\int\limits_{0}^{1}2\pi x I(x)\, dx$.