Внешняя лемма о трезубце. Доказательство.

[bitcoin]

Доказать, что точка пересечения биссектрисы внешнего угла $A$ треугольника $ABC$ с его описанной окружностью равноудалена от точек $B, C, I_B, I_C$.



Я понимаю, что для того, чтобы доказать равенство $OB=OC$ достаточно доказать равенство дуг $ \widehat{OB}=\widehat{OC}$ или соответствующих вписанных углов опирающихся на эти дуги.

Я пытался пользоваться тем, что центры внепвписанных окружностей лежат на биссекриссе внешних уголов просто углы обозначал разными буквами итп, ничего из этого не помогло пока что. Вижу, что $\angle BAC=\angle BOC$, как вписанные углы опирающиеся на одну дугу.
Подскажите, пожалуйста, с чего начать, дальше буду думать, развивать мысль, сейчас в тупике.
P.S. Доказательство "внутренней леммы о трезубце" -- понял, понимаю, что здесь должно быть аналогично, но усмотреть аналогию не выходит, потому как здесь нет точки пересечения внутренних биссектрис.

[DeBill]

$I_B$ лежит на биссектрисе угла $B$
$I_C$ - на биссектрисе внешнего угла к $B$, и эти биссектрисы ортогональны....

[bitcoin]

DeBill в сообщении #1313349 писал(а):

$I_B$ лежит на биссектрисе угла $B$
$I_C$ - на биссектрисе внешнего угла к $B$, и эти биссектрисы ортогональны....

Спасибо! Действительно, теперь многое прояснилось! В прямоугольных треугольниках $\Delta I_CI_BB$ и $\Delta I_CI_BC$ медианы прямых углов будут равны половине гипотенузы, потому четыре точки $ I_C,I_B,B,C$ равноудалены от $O$. Осталось тогда доказать - почему середина $I_CI_B$ лежит на описанной окружности вокруг треугольника $\Delta ABC$. Но как это сделать? Можете подсказать, пожалуйста?

-- 19.05.2018, 12:26 --

У меня есть лишь только мысль, что достаточно показать, что отрезок $BC$ из точек $O$ и $A$ виден под одним и тем же углом. Но как это доказать - не знаю.

[bitcoin]

Здесь была чушь, лучше даже не читать

(Оффтоп)

Можно сказать, что так как центр описанной окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров, то серединный перпендикуляр к $BC$ проходит через точку $O$. Но еще нужно доказать, что еще один серединный перпендикуляр проходит через точку $O$, тогда мы доказали, что $O$ лежит на описанной окружности. Но вот как доказать для второго срединного перпендикуляра?

[DeBill]

Ну, можно из $I_BOB$ ($O$ середина гипотенузы) выразить угол при вершине этого равнобедрого через $B$...