Два метода нахождения скорости звука в воздухе

[gerkm]

Цитата:

Дана следующая система: излучатель ультразвуковых волн (частоты $f$) и приемник, находящиеся на расстоянии $x$ друг от друга. Оба устройства подключены к осциллографу, который показывает зависимость амплитуды сигналов от времени. Скорость звука конечна, а значит, между синусоидами изображенными на осциллографе, будет сдвиг $\Delta t$ во времени (запаздывание). Покажите, как можно измерить скорость звука:
1) При фиксированной частоте $f$, меняя расстояние $x$ и измеряя запаздывание $\Delta t$ (найдите связь между $x$ и $\Delta t$).
2) При фиксированном расстоянии $x$, меняя частоту $f$ и измеряя запаздывание $\Delta t$ (найдите связь между $f$ и $\Delta t$).

1) Тут все просто: $x = v \Delta t$, где $v$ скорость звука. Соответственно измеряя различные $(x_i,\Delta t_i)$ ожидаем получить линейный график с наклоном $v$.
2) Излучаемая волна описывается функцией $g(t) = A \cos (-\omega t + \varphi_0)$ а волна попадающая в приемник описывается функцией $h(t) = A \cos (kx-\omega t + \varphi_0)$. Накладывая условие $g(t_1)=h(t_2)$ (рассматриваем одну точку) получаем $kx - \omega \Delta t = 2 \pi n$ где $n$ целое число. Положим $n=1$. Делим обе части на $\omega$ и (учитывая $v=\omega / k$) получаем: $\frac{x}{v} - \Delta t = \frac{1}{f}$. Иными словами, при росте $f$ растет и $\Delta t$ (до определенного момента). Таким образом, измеряя различные $(1/f_i,\Delta t_i)$ ожидаем получить линейный график, а уже из него, извлекая пересечение $C=x/v$, находим скорость звука $v=x/C$. Правильно ли получилось? Мешает то, что выбрав любое другое значение $n$ можно получить совершенно другое $C$. Пытался связать $f$ с $\Delta t$ другими способами, но ничего не выходит.

[Dmitriy40]

gerkm в сообщении #1313306 писал(а):

Мешает то, что выбрав любое другое значение $n$ можно получить совершенно другое $C$.

Ну не совсем совершенно другое, лишь связанное с $n$.
А как раз $n$ нельзя взять произвольным, оно не может быть меньше $1$ - что даёт ограничение и на $C$ и на $v$. В таком случае задача превращается в задачу найти наименьшую $v$ - она и будет скоростью звука.

[gerkm]

Dmitriy40 в сообщении #1313318 писал(а):

Ну не совсем совершенно другое, лишь связанное с $n$.
А как раз $n$ нельзя взять произвольным, оно не может быть меньше $1$ - что даёт ограничение и на $C$ и на $v$. В таком случае задача превращается в задачу найти наименьшую $v$ - она и будет скоростью звука.

Спасибо. Но тогда получается, что (рассматривая $v$ как функцию от $n$) $v \sim \frac{1}{n/f+1}$, т.е. чем больше $n$ (при данном значении $f$) тем меньше $v$, соответсвенно у проблемы минимизации нет решения.

[Dmitriy40]

Э, я что, перепутал минимизацию и максимизацию $v$? Но вообще говоря да, раз нет условий на $n$, то вместо одной скорости получим множество допустимых скоростей. Но ведь нам разрешили менять $f$, а при некратном изменении $f$ эти множества совпадать не будут, и при любом рациональном соотношении частот множество допустимых скоростей будет сильно прореживаться, при этом оставляя одну точку (реальную скорость звука) неподвижной, и можно подобрать такое соотношение частот, чтобы ближайшая следующая совпадающая точка ушла из физически адекватной области (ну там стала скажем тысячи км/с или вообще больше скорости света). И останется единственное решение с $n=1$. Как-то так.

[artur_k]

gerkm в сообщении #1313306 писал(а):

Цитата:

1) Тут все просто: $x = v \Delta t$, где $v$ скорость звука. Соответственно измеряя различные $(x_i,\Delta t_i)$ ожидаем получить линейный график с наклоном $v$.

Это вам только кажется, что просто. Что такое $\Delta t$ ? Это промежуток времени между ближайшими гребнями излученной волны и принятой волны. Допустим скорость звука 300 м/с, частота 30 кГц и $x=1$м. Тогда в этот 1м уложится ровно 100 длин волны и сигналы с излучателя и приемника на осциллографе будут синфазны, т.е. $\Delta t=0$. И какую тут вы скорость рассчитаете?

[gerkm]

Dmitriy40 в сообщении #1313450 писал(а):

Э, я что, перепутал минимизацию и максимизацию $v$? Но вообще говоря да, раз нет условий на $n$, то вместо одной скорости получим множество допустимых скоростей. Но ведь нам разрешили менять $f$, а при некратном изменении $f$ эти множества совпадать не будут, и при любом рациональном соотношении частот множество допустимых скоростей будет сильно прореживаться, при этом оставляя одну точку (реальную скорость звука) неподвижной, и можно подобрать такое соотношение частот, чтобы ближайшая следующая совпадающая точка ушла из физически адекватной области (ну там стала скажем тысячи км/с или вообще больше скорости света). И останется единственное решение с $n=1$. Как-то так.

Спасибо. Не подозревал, что все так сложно

artur_k в сообщении #1313467 писал(а):

Это вам только кажется, что просто. Что такое $\Delta t$ ? Это промежуток времени между ближайшими гребнями излученной волны и принятой волны.

Вы абсолютно правы, но здесь $\Delta t$ нужно интерпретировать иначе. Положим начальное расстояние $d$. Смотрим на осциллограф - там две синусоиды с каким-то сдвигом во времени (возможно нулевым, если исходить из вашего определения $\Delta t$). Отмечаем две соседние "одинаковые" (обладающие той же амплитудой) точки. Теперь увеличиваем расстояние и следим за этими точками. Они будут непрерывно расходиться (именно это и есть $\Delta t$ в данном случае) и никогда не сблизятся (хотя сами волны будут периодически совпадать).

[Dmitriy40]

Да не то чтобы сложно. В первом случае Вы ждёте линейность разницы фаз от расстояния, во втором случае будет линейность разницы фаз от периода сигнала (который очевидным образом связан с частотой и скоростью). Найдя коэффициент пропорциональности пересчитать его в скорость по известной частоте тривиально.
Можно и по другому: зафиксируем частоту $f$ на которой сдвиг фаз к примеру нулевой, плавно увеличиваем частоту в $k$ раз пока сдвиг фаз снова не станет нулевым, в этот момент на том же расстоянии вместо $n$ старых периодов уложилось $n+1$ новых периодов. Приравнивая расстояние для первого случая расстоянию для второго случая по известному $k$ находим $n$, а по нему и известной частоте и скорость. Собственно этот способ практически эквивалентен тому якобы сложному.

[gerkm]

Dmitriy40 в сообщении #1313529 писал(а):

В первом случае Вы ждёте линейность разницы фаз от расстояния, во втором случае будет линейность разницы фаз от периода сигнала (который очевидным образом связан с частотой и скоростью). Найдя коэффициент пропорциональности пересчитать его в скорость по известной частоте тривиально.

Но вот беда. При подстановке экспериментальных данных в формулу $\frac{x}{v} - \Delta t = \frac{1}{f}$ возникают проблемы. Расстояние было $x=44.6 \text{cm}$, а частоту увеличивал сначала скачками в $0.1 ~ \text{kHz}$ (до определенной частоты, а потом в $0.3 ~ \text{kHz}$) от $40 ~ \text{kHz}$ до $44 ~ \text{kHz}$. При этом $\Delta t$ росло от $15 ~ \mu \text{s}$ до $127 ~ \mu \text{s}$ (в среднем на $5 ~ \mu \text{s}$ каждый раз, когда поднималась частота). В результате, если считать по этой формуле, скорость звука получается на несколько порядков выше правильной (а вот с первым методом - там где частота постоянна и меняется только расстояние - все вышло замечательно).

Dmitriy40 в сообщении #1313529 писал(а):

Можно и по другому: зафиксируем частоту $f$ на которой сдвиг фаз к примеру нулевой, плавно увеличиваем частоту в $k$ раз пока сдвиг фаз снова не станет нулевым, в этот момент на том же расстоянии вместо $n$ старых периодов уложилось $n+1$ новых периодов. Приравнивая расстояние для первого случая расстоянию для второго случая по известному $k$ находим $n$, а по нему и известной частоте и скорость. Собственно этот способ практически эквивалентен тому якобы сложному.

Да, это действительно проще. Там, кстати, удобно рассматривать фигуры Лиссажу.