Помогите исследовать ряд на сходимость

[alex10007]

Помогите, пожалуйста, исследовать ряд на сходимость:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(e^{\frac{1}{n}}-1)^2$

Моя попытка решения такова:
1. Установил, что $\lim\limits_{n\to\infty}(e^{\frac{1}{n}}-1)^2=0$.
Следовательно, достаточное условие расходимости не выполняется.
2. Установил, что ряд является знакоположительным:
$(e^{\frac{1}{n}}-1)^2>0\bigg| \forall x \in N$
3. Попробовал применить признак Д'Аламбера:
$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{ (e^{\frac{1}{n+1}}-1) ^2 } {(e^{\frac{1}{n}}-1)^2}=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(\frac{1}{n+1})^2}{(\frac{1}{n})^2}$ т.к. $e^x-1 \sim x \bigg| x\to 0$
$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(\frac{1}{n+1})^2}{(\frac{1}{n})^2}=\ldots=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^2=1$
Т.е. признак Д'Аламбера использовать нельзя.
4. Можно доказать, что $a_n>a_{n+1}$, но интегральный признак Коши применить не удается. WolframAlpha говорит, что интеграл общего члена ряда не выражается через элементарные функции.
5. Остается использовать признаки сравнения рядов. С каким рядом сравнивать?

Также сообщу, что WolframAlpha сообщает, что ряд сходится.

[thething]

Эквивалентности знаете? Используйте предельный признак.

[alex10007]

thething

Спасибо огромное за подсказку!
Я понял суть решения:
1. Т.к. $e^x-1 \sim x \bigg| x\to 0$, то $(e^{\frac{1}{n}}-1)^2 \sim (\frac{1}{n})^2 \bigg| n\to \infty$
2. Исследуем на сходимость ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2$:

Т.к. он знакоположительный и $a_n>a_{n+1}$, то можно применить интегральный признак Коши:
$\int\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx=\lim\limits_{q\to\infty}(\int\limits_{1}^{q} \frac{1}{x^2} \, dx)=\ldots=\lim\limits_{q\to\infty}(1-\frac{1}{q})=1$
Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2$ сходится.

3. Применим предельный признак сравнения:

$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(\frac{1}{n})^2}{(e^{\frac{1}{n}}-1)^2}=1$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{n})^2$ сходится.
Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}((e^{\frac{1}{n}}-1)^2)$ также сходится!