Найти меру множества

[hollo]

Пусть $\mu_F(A)$ - мера Лебега-Стилтьеса порожденная функцией $F$, найти меру $\mu_F(A)$ множества $A$

$$F(x)=\begin{cases} 0,&\text{если $x \leqslant 0$;}\\ \sin(x),&\text{если $0<x \leqslant \frac{\pi}{2}$;}\\ x,&\text{если $\frac{\pi}{2} < x \leqslant 2015$.} \\ 2016,&\text{если $x > 2015$.} \end{cases}$$

$A=Q$, $A=[-1,1] \Delta [\pi,2017]$

Тк симметрическая разность двух множеств - это такое множество, куда входят все элементы, которые не являются общими для двух заданных множеств(а заданные множества не пересекаются), то нужно найти:
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)- \lim\limits_{x \to -1}^{}F(x)=\sin(1)-0$
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=\lim\limits_{x \to 2017+0}^{} F(x)-\lim\limits_{x \to \pi}^{} F(x)=2016-3,14$

Правильно ли это? И если нет, то где ошибки?

[Someone]

hollo в сообщении #1312840 писал(а):

где ошибки?

hollo в сообщении #1312840 писал(а):

$\ldots-\lim\limits_{x \to \pi}^{} F(x)=2016-3,14$

Зачем тут предел, если в формуле написано $F(\pi)$? И он, конечно, не равен $3{,}14$.

[hollo]

Someone
Пределы вообще нигде не нужны?
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\sin(1)-0$
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=2016-\pi$

Someone в сообщении #1312843 писал(а):

И он, конечно, не равен $3{,}14$

Но ведь $\pi$ входит в $\frac{\pi}{2} < x \leqslant 2015$, а значит, что $F(\pi)=\pi$. Разве не так?

[Someone]

hollo в сообщении #1312846 писал(а):

Пределы вообще нигде не нужны?

$F(1+0)$ — это обозначение предела справа. А $F(\pi)$ — просто значение функции. Вы в обозначениях-то разберитесь.

hollo в сообщении #1312846 писал(а):

$F(\pi)=\pi$. Разве не так?

Так. Но Вы ведь написали не $\pi$:

hollo в сообщении #1312840 писал(а):

$-3,14$

И Вы неправильно пишете формулы. Должно быть

Используется синтаксис LaTeX

$$F(x)=\begin{cases}…\end{cases}…$$

Проверьте на примере формулы из стартового сообщения, что получается.

[hollo]

Someone в сообщении #1312847 писал(а):

И Вы неправильно пишете формулы. Должно быть

Понял, теперь буду знать.

На счет задания:
Получается
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=\lim\limits_{x \to 2017+0}^{} F(x)-F(\pi)=2016-\pi$
При вычислении $\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ нужно учитывать, что справа две точки разрыв? или
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)- F(-1)=\sin(1)-0$

А после вычисления $m[\pi,2017]$ и $m[-1,1]$ их останется просто сложить?

[Pphantom]

Формулу из стартового сообщения я поправил.

[Walker_XXI]

hollo в сообщении #1312848 писал(а):

Получается
$m[\pi,2017]=F(2017+0)-F(\pi)=\lim\limits_{x \to 2017+0}^{} F(x)-F(\pi)=2016-\pi$
При вычислении $\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ нужно учитывать, что справа две точки разрыв? или
$m[-1,1]=F(1+0)-F(-1)=\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)- F(-1)=\sin(1)-0$

А после вычисления $m[\pi,2017]$ и $m[-1,1]$ их останется просто сложить?

Мера - вещь аддитивная, так что - да, нужно складывать. А вот что складывать - отдельный вопрос.
Во-первых, посмотрите, является ли $F(x)$ непрерывной на всём $R$? Если нет, то попадают ли точки разрыва в измеряемое множество? (Прошу прощения, ерунду написал).
Во-вторых, зачем писать пределы в точках непрерывности? При этом, заметьте, в некотором смысле....

Цитата:

При вычислении $\lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ нужно учитывать, что справа две точки разрыв?

- это о чём?

Ну и, наконец, какой смысл переписывать одно и то же разными обозначениями: $F(1+0) \equiv \lim\limits_{x \to 1+0}^{} F(x)$ по определению.

[hollo]

Walker_XXI в сообщении #1312852 писал(а):

- это о чём?

Я примерно о чем-то таком и думал

Walker_XXI в сообщении #1312852 писал(а):

Во-первых, посмотрите, является ли $F(x)$ непрерывной на всём $R$? Если нет, то попадают ли точки разрыва в измеряемое множество?

Попадает 2015 в $[\pi,2017]$
Ее исключить и рассмотреть меры 3 промежутков $[-1,1], [\pi,2015),(2015,2017]$?

UPD

[Walker_XXI]

hollo в сообщении #1312860 писал(а):

Ее исключить и рассмотреть меры 3 промежутков $[-1,1], [\pi,2015),(2015,2017]$?

Зачем же исключать (всё-таки в точке 2015 $F(x)$ определена)? Заменить $[\pi,2015)$ на $[\pi,2015]$.

[Someone]

hollo в сообщении #1312860 писал(а):

Ее исключить и рассмотреть меры 3 промежутков $[-1,1], [\pi,2015),(2015,2017]$?

То есть как это — исключить? С какой стати? В этой точке сосредоточена некоторая ненулевая мера, и эта точка входит в рассматриваемое множество. Причём, внутренняя. Никаких специальных действий в этом случае предпринимать не надо. У Вас же есть формула, ей и пользуйтесь.

Walker_XXI, не запутывайте бедного студента, он сам запутается.

[hollo]

Someone в сообщении #1312876 писал(а):

Никаких специальных действий в этом случае предпринимать не надо. У Вас же есть формула, ей и пользуйтесь.

Тогда ответ $\sin(1)+2016-\pi$
Спасибо!