Вопрос по терминологии

[grizzly]

Рассмотрим следующую простую задачу.
Пусть есть множество $A=\{0,1\}$. Из него удаляется один элемент: с вероятностью 1/2 удаляется $\{1\}$, с той же вероятностью удаляется $\{0\}$. Какую мощность имеет оставшееся множество?

Меня интересует, насколько корректно сформулирован вопрос этой задачи. Можно ли оставшийся объект называть множеством, раз мы не можем дать какое-либо описание (кроме вероятностного) его элементов или провести проверку принадлежности элемента объекту? Если множеством его назвать нельзя, имеется ли какая-то общепринятая терминология для таких объектов и их "мощности"? (В основном интересует бесконечный случай, но хотелось бы в целом понять общепринятые пределы корректности / допустимости использования терминов.)

[VAL]

Сразу же вспомнил про нечеткие множества.
Но, вчитавшись в приведенный пример, решил, что здесь нет никаких нечетких множеств.
После удаления одного элемента останется классическое одноэлементное множество.
Просто в вероятностью $\frac12$ это будет $\{0\}$ и с такой же вероятностью $\{1\}$.
То есть, в отличие от нечеткого множества, здесь вероятность, если можно так сказать, внешняя: не элемент принадлежит множеству с некоторой вероятностью, а одно из двух возможных множеств возникает с некоторой вероятностью.

[grizzly]

VAL
Спасибо, нечёткие множества -- это интересное направление, я посмотрю.

VAL в сообщении #1312634 писал(а):

а одно из двух возможных множеств возникает с некторой вероятностью.

Вот это меня немного смущает. Я специально отметил, что задача утрирована, а меня интересует бесконечный случай. А там каждое из возможных множеств возникает с вероятностью 0.

Для примера: есть натуральный ряд, на $n$-м шаге удаляем из него (равновероятно) одно из $10^n$ наименьших из оставшихся чисел. Предельный объект нельзя ведь назвать "множеством"? и говорить о его мощности тоже некорректно, так ведь? (Подходит ли к этой задаче аппарат нечётких множеств, пока не понял, подумаю.)

[Xaositect]

Есть теория случайных множеств, но там в основном говорят про подмножества хорошего топологическтого пространства. Счетное множество с дискретной топологией подойдет, но для счетных множеств можно проще, считать случайным множеством $X$ последовательность случайных величин $\xi_i$ со значениями в $\{0, 1\}$ и говорить, что $i \in X$ если $\xi_i = 1$.

[arseniiv]

grizzly
Ну у вас просто получается случайная величина со значениями в множествах (и мощность тоже случайная величина, и раз она числовая, у неё есть матожидание). Если рассматривать надо «хорошее» семейство подобных величин, то наверняка можно будет найти и подходящее вероятностное пространство. Если их надо будет слишком много слишком разных, может, наверно, оказаться, что вероятностное пространство, чтобы суметь рассматривать их все вместе, не найти.

А вот нечёткие множества, по идее, стоит использовать только тогда, когда ничего другое не помогло.

-- Ср май 16, 2018 15:27:27 --

grizzly в сообщении #1312646 писал(а):

А там каждое из возможных множеств возникает с вероятностью 0.

А, ну это не страшно. Главное чтобы интересующие функции множества были измеримыми. Правда, не пойму, измерима ли мощность в вашем втором примере, а то вдруг нет.

[grizzly]

Xaositect, arseniiv
Спасибо, интересно!