Найти угол при вершине плоскости

[red318]

Тело движется по наклонной плоскости под действием силы, модуль которой вдвое больше силы тяжести, действующей на тело. Сила направлена параллельно наклонной плоскости вверх. Найти угол при вершине плоскости, при котором груз будет иметь минимальное ускорение. Найти также значение ускорения и приведите его в качестве численного ответа. Коэффициент трения $\mu=1$. $g=10\text{ м}/\text{с}^2$

Расставил силы, спроецировал все кажется верно, получил:
$g \sin \alpha + \mu g \cos \alpha - 2g=a$
$g(1 - \cos^2 \alpha + \mu \cos \alpha - 2) = a $
$-10\cos^2\alpha + 10 \mu \cos \alpha - 10 = a $
$- 10x^2 + 10\mu x -10= a $
Ищу минимум, получаю что $a_{\min} = -2.5 (\text{м}/\text{с}^2)$

Заранее спасибо.

[Eule_A]

red318
Чтобы проверить Ваше решение, нужно знать, как Вы выбрали оси координат. Т.е. чертёж бы явно не помешал. И потом, вот эта фраза

red318 в сообщении #1312758 писал(а):

думаю взять производную получить квадратное уравнение и далее найти минимум (предположение) но вот почему-то не получается, пытаюсь взять производную получается чушь.

всё-таки не попытка решения, а скорее декларация о намерениях. Дополните своё сообщение. Поэтому пока что в Карантин.

[Eule_A]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тема исправлена.

[Pphantom]

red318 в сообщении #1312758 писал(а):

$g(1 - \cos^2 \alpha + \mu \cos \alpha - 2) = a $

А что, теперь $\sin \alpha = 1-\cos^2 \alpha$?

Заодно, кстати, обратите внимание, что для поиска угла конкретное значение $g$ роли не играет, а коэффициент трения Вам дан весьма "круглый". Если аккуратно избавиться от лишних деталей, ответ станет практически очевидным без всякого дифференцирования.

[red318]

Вроде все ошибки исправил, обратил внимание на знак ускорения,но ответ получился подозрительно большим.

$g(\sin \alpha + \cos \alpha - 2) = -a$

$a= g(2 + \sin \alpha - \cos \alpha)$

$a= a_m_i_n$ при $\alpha= \pi/4$

$a = 10 m/s^2$

[Pphantom]

red318 в сообщении #1312901 писал(а):

$g(\sin \alpha + \cos \alpha - 2) = -a$

$a= g(2 + \sin \alpha - \cos \alpha)$

Посмотрите на эти два выражения. В первом члены с синусом и косинусом имеют один и тот же знак, во втором - разные. Такое может быть?

[red318]

$g(\sin \alpha + \cos \alpha - 2) = (-a)$

Я просто перенес минус, ничего не изменилось (присмотритесь)

[Pphantom]

red318 в сообщении #1312940 писал(а):

Я просто перенес минус, ничего не изменилось (присмотритесь)

Присмотрелся. Возражение остается в силе.

[EUgeneUS]

red318
Минус Вы перенесли неверно, про этом волшебным образом получили ответ, похожий на правду, обязательно разберитесь с этим.
Но у меня другой вопрос - откуда взялся этот минус?

(Так-то понятно)

Вы просто угадали направление ускорения и под $a$ понимаете модуль ускорения.
Но угадывание до решения - не очень хороший паттерн.

ИМХО, лучше так:
1. Честно записать $g \sin \alpha + \mu g \cos \alpha - 2g=a$, безо всяких минусов справа, понимая под $a$ проекцию ускорения на ось $X$, которая может быть, как положительной, так и отрицательной, в отличие от модуля.
2. Ответ на вопрос задачи искать тоже по честному: искать минимум функции $ f(\alpha) = \left\lvert a \right\rvert = \left\lvert g \sin \alpha + \mu g \cos \alpha - 2g \right\rvert$
Тогда меньше поводов в минусах запутаться.

[fred1996]

Кстати, для школьников незнакомых с производными, но знакомых с тригонометрией, есть такое полезное преобразование:
$a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\alpha+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\alpha)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha + \beta)$
где $\tg\beta=\frac{b}{a}$ ,
которое частенько используется в такого сорта задачах.
Например, под каким углом надо тянуть тело по шероховатой поверхности, чтобы оно имело максимальное ускорение.

[Someone]

fred1996 в сообщении #1312968 писал(а):

где $\tg\beta=\frac{b}{a}$ ,

Это условие определяет угол не однозначно. Лучше использовать пару условий

$$\begin{cases}\cos\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\\ \sin\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}.\end{cases}$$