Замена переменных в кратном интеграле

[SomePupil]

Есть известная теорема о замене переменных в кратном интеграле по замкнутой области в $\mathbb R^n.$ Та самая, где фигурируют диффеоморфизм с ненулевым якобианом и её определитель. Может, кто-нибудь из форумчан знает, есть ли лаконичное доказательство этой теоремы? Может быть, в крутых инвариантных терминах и прочая.

[nya]

инвариантно замена переменных это пуллбэк диф.формы.
на уровне когомологий де рама эта формула это просто сопряженность пулбэка и пушфорварда $(\sigma, f^* \omega) = (f_* \sigma, \omega)$

-- 14.05.2018, 17:19 --

отсюда видно, что если гладкие $C^\infty$-подмногообразия заменить на гомологические $C^\infty$-циклы то необязательно контролить даже чтобы $f$ была локально диффеоморфизмом, эта формула верна для всех гладких отображений

[SomePupil]

nya в сообщении #1312323 писал(а):

необязательно контролить даже чтобы $f$ была локально диффеоморфизмом, эта формула верна для всех гладких отображений

То есть, формула будет верна, даже когда якобиан будет нулевым в некоторых точках? Я правильно понял?

-- 14.05.2018, 17:27 --

Это, кстати, очень похоже на правду, можно все такие особые точки накрыть малыми областями. В оставшейся части исходной области формула будет выполняться. На пальцах малые области не должны ни на что влиять.

-- 14.05.2018, 17:28 --

nya в сообщении #1312323 писал(а):

это просто сопряженность пулбэка и пушфорварда $(\sigma, f^* \omega) = (f_* \sigma, \omega)$

Как все просто выглядит, однако! А ведь это одна из самых громоздких теорем курса.

[nya]

SomePupil в сообщении #1312324 писал(а):

Это, кстати, очень похоже на правду, можно все такие особые точки накрыть малыми областями. В оставшейся части исходной области формула будет выполняться. На пальцах малые области не должны ни на что влиять.

нет, поинт в том что если получится представить диф.форму $w$ в виде $f^* \omega$ то сопряженность сразу же можно применить. самый простой способ сделать это это если $f$ это диффеоморфизм тогда в качестве $\omega$ можно взять $(f^{-1})^* w$, но в принципе-то если получится как-то ещё, то можно и как-то ещё

[Pphantom]

nya, не забывайте пользоваться заглавными буквами, пожалуйста. А заодно и точками.

[vpb]

SomePupil в сообщении #1312321 писал(а):

ли лаконичное доказательство этой теоремы? Может быть, в крутых инвариантных терминах и прочая.

Формулировка лаконичная, несомненно, есть, а доказательство вряд ли. То, что что-то просто записывается, "в крутых инвариантных терминах", не значит, что оно просто доказывается. По "закону сохранения нетривиальности", который еще когда-то Постников подметил. Теорему Стокса тоже можно записать в несколько буквочек, а поди докажи!

[nya]

Ну так-то да, все такие теоремы сводятся к локальному случаю всё равно, это потому что в дифф. геометрии все определения даются в духе "объект Х это нечто что в локальных координатах выглядит вот так", но запомнить намного проще.

vpb в сообщении #1312415 писал(а):

Теорему Стокса тоже можно записать в несколько буквочек, а поди докажи!

А она разве сложно доказывается? Если верить в интегрирование по цепям и в то что диф. формы это инвариантный объект, то достаточно проверить её для сингулярного гладкого симплекса, а там не должно быть очень сложно.

[vpb]

SomePupil в сообщении #1312324 писал(а):

Как все просто выглядит, однако! А ведь это одна из самых громоздких теорем курса

Да, вот так просто и красиво выглядит лапша на ушах.

К моему стыду, я вчера сам до некоторой степени впал в заблуждение, поддавшись очарованию самоуверенных речей, насыщенных модными словами. (Сыграло роль еще и то, что шашки Зорича я последний раз давно в руки брал, и вообще анализ не моя специальность.)

Когда я написал, что лаконично сформулировать легко, а доказать трудно, мне казалось, что формула $(\sigma, f^\ast\omega)=(f_\ast\sigma,\omega)$ --- это другая форма теоремы о замене переменных. Но это совершенно не так.
Дело в том, что, чтобы написать эту формулу, нужно располагать понятием интеграла от дифференциальной формы по поверхности (или, более общо, по цепи). А формулировка такого понятия требует доказательства того, что этот интеграл корректно определен. А для этого необходима теорема о замене. См. Зорич, 4 издание, гл. XIII, пар.1, п.2. Теория кратных интегралов, естественно, дается раньше, а именно в гл. XI.

Формула $(\sigma, f^\ast\omega)=(f_\ast\sigma,\omega)$ действительно имеет место, она, конечно, полезна, и когда-нибудь Вы узнаете, что она означает (если понадобится), но это не тот факт, который Вам нужен в настоящий момент. Короче, изучайте спокойно Зорича, и да не смутит Вас сладкозвучие сирен.

[nya]

Это ровно та формула, что очевидно любому, кто хоть немного знает базовый геометрический язык. Распишу в координатах (не для вас, а для SomePupil):

$$U,V \subset \mathbb{R}^2$$

$$\omega = f(x,y) dx \wedge dy \in \Omega^2(V)$$

$$\phi : U \to V$$

пусть

$$(x_0,y_0) \in U$$

$$\phi(x_0,y_0) = (a_0,b_0) \in V$$

$$\partial_{x_0} \wedge \partial_{y_0} \in \wedge^2 T_{x_0,y_0} U$$

$$\partial_{a_0} \wedge \partial_{b_0} \in \wedge^2 T_{\phi(x_0,y_0)} V$$

какие-то выбраные базисы старшей внешней степени касатльных пространств

$$(\phi^* \omega)_{x_0,y_0} (\partial_{x_0} \wedge \partial_{y_0}) = \omega_{\phi(x_0,y_0)} (d_{x_0,y_0}\phi (\partial_{x_0})) \wedge (d_{x_0,y_0}\phi (\partial_{y_0})) $$

$$\omega_{\phi(x_0,y_0)} ((Jac_{x_0,y_0} (\phi) (1,0)^T) \wedge (Jac_{x_0,y_0} (\phi) (0,1)^T) = \omega_{\phi(x_0,y_0)} (det(Jac_{x_0,y_0}(\phi)) (\partial_{a_0} \wedge \partial_{b_0}) $$

$$det(Jac_{x_0,y_0}(\phi)) \omega_{\phi(x_0,y_0)} (\partial_{a_0} \wedge \partial_{b_0})$$

сворачивая всё вместе

$$(\phi^* \omega)_{x,y} = \operatorname{det}(Jac_{x,y}(\phi)) \omega_{a,b}$$

теперь пусть $K$ некоторое компактное множество в $U$, а $\phi$ это диффеоморфизм, тогда

$$\phi_*(K) = \phi(K)$$

Запишем основную формулу (помня что $(x,y) = \phi^{-1}(a,b)$)

$$\int_{\phi(K)} f(x,y) dx \wedge dy = (\phi_* K, \omega) = (K, \phi^* \omega) = \int_{K} f(\phi^{-1}(a,b)) \operatorname{det}(Jac_{\phi^{-1}(a,b)}(\phi)) da \wedge db$$

[nya]

Немного заговорился, там $(a,b)=\phi(x,y)$, поэтому в последнем подинтегральном выражении должно быть $f(a,b) \operatorname{det}(Jac_{\phi(a,b)}(\phi)) da \wedge db $ под интегралом. Диффеоморфности требовать необязательно если вместо теоретико-множественного образа phi(K) брать более умный ноушн: пушфорвард гладкой цепи.

.