ограниченность операторов в гильбертовом пространстве

[Bard]

Spook
Скалярное произведение в пространстве

\[ L_2 \left( {\left( {a,b} \right);d\mu } \right) \]

измеримых по мере

\[ {d\mu } \]

функций, заданных на промежутке

\[ {\left( {a,b} \right)} \]

, определяется равенством

\[ \left( {f,g} \right) = \int\limits_a^b {f(x)\,\overline {g(x)\,} d\mu (x)} \]

.
Обозначения связанные с мерой варьируются. Пусть мера дискретная. Например, носитель расположен в точках

\[ 1,2, \ldots ,n \]

с единичными массами. Тогда перд нами обычное произведение в пространстве векторов

\[ C^n \]

\[ \left( {f,g} \right) = \sum\limits_{k = 1}^n {f_k \overline {g_k } } \]

.
В связи с этим Ваши формулы следует исправить следующим образом

\[ \left( {Ax,y} \right) = \sum\limits_{j,k = 1}^n {a_{jk} x_k \overline {y_j } } \]

и

\[ \left( {Kg,f} \right) = \int\limits_a^b {\int\limits_a^b {K(t,\tau )g(\tau )\overline {f(t)} \,d\tau dt} } \]

.

[Spook]

Spook писал(а):

ewert писал(а):

Bard, на мой взгляд, имел в виду примерно следующее. Если утверждение верно для функциональных пр-в, то оно верно и для пр-в последовательностей -- т.к. $l_p$ есть частный случай пространств $L_p$, когда интегрирование ведётся по соответствующей дискретной мере. Обратное, формально говоря, неверно, но доказательства любых интегральных неравенств так или иначе основываются на аналогичных неравенствах для дискретных наборов.

Я ничего не понял

Вроде всё понял .

Bard, в формулах у меня действительно были ошибки .
Пока еще не понял вот чего. Как представить этот "частный случай". То есть, вот работаем мы в $L_p$. Не могу перейти к дискретной мере от клеток (кубиков и т.д.), мера же

Bard писал(а):

носитель расположен в точках

\[ 1,2, \ldots ,n \]

с единичными массами.

точек равна нулю. То есть мы абстрагируемся от меры множества и наделяем некоторые точки весами?

[Bard]

Spook
Я понял. Вы всё время думаете о мере Лебега. Но есть другие меры, другие интегралы. Например, интеграл Стилтьеса. Если обозначить через

\[ \chi (x) \]

функцию Хевисайда (единичный скачок в точке 0) и ввести функцию

\[ F(x) = \sum\limits_{k = 1}^n {\chi (x - k)} \]

,
то для интеграла Стилтьеса от непрерывной функции

\[ {f(x)} \]

верно равенство

\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dF(x)} = \sum\limits_{k = 1}^n {f(k)} \]

..

[RIP]

Spook писал(а):

Пока еще не понял вот чего. Как представить этот "частный случай".

Вот смотрите. Пусть $X=\mathbb N$, $\mathcal F=2^X$ (все подмножества), $\mu(A)=\mathop{\mathrm{card}}(A)$ (мощность $A\in\mathcal F$). Тогда $(X,\mathcal F,\mu)$ - $\sigma$-конечное измеримое пространство, $L^p(X,\mu)=l^p$. Или вопрос был не в этом?

[Spook]

Bard, RIP, спасибо вам.

Bard писал(а):

Я понял. Вы всё время думаете о мере Лебега. Но есть другие меры, другие интегралы. Например, интеграл Стилтьеса.

На самом деле я об интеграле Стилтьеса только слышал, в программе у нас его нет Но то, что только на Лебеге зацикливаться не надо, уже понимаю.

RIP писал(а):

Вот смотрите. Пусть $X=\mathbb N$, $\mathcal F=2^X$ (все подмножества), $\mu(A)=\mathop{\mathrm{card}}(A)$ (мощность $A\in\mathcal F$). Тогда $(X,\mathcal F,\mu)$ - $\sigma$-конечное измеримое пространство, $L^p(X,\mu)=l^p$. Или вопрос был не в этом?

Вроде в этом . Кстати, интуитивно я понимал, что одно - частный случай другого, но теперь убедился математически.

Bard писал(а):

...

\[ \int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dF(x)} = \sum\limits_{k = 1}^n {f(k)} \]

..

RIP писал(а):

...$L^p(X,\mu)=l^p$

Теперь я понял, про что была речь и почему так.