Равновесие Нэша

[Yaroslav_F]

Добрый день!
Пытаюсь разобраться в тексте по теории игр, но почти с самого начала есть одно непонятное место.
Итак, рассматривается игра трёх игроков $A$, $B$, $C$. Каждый имеет по две стратегии: стратегии первого игрока $(a_1,a_2)$, стратегии второго игрока $(b_1,b_2)$, стратегии третьего игрока $(c_1,c_2)$. При этом

$$a_1, a_2, b_1, b_2, c_1 ,c_2 \geq 0 \eqno{(1)}$$

и

$$a_1 + a_2 = b_1 + b_2 = c_1 + c_2 = 1. \eqno{(2)}$$

Матрицы выигрышей это $A = (A_{ijk})$, $B = (B_{ijk})$, $C = (C_{ijk})$, где $i, j, k = 1,2$. То есть получаются трёхмерные матрицы.
Обозначим функцию выигрыша игрока $A$ через $\alpha$, игрока $B$ через $\beta$ и игрока $c$ через $\gamma$. Тогда

$$\alpha = \sum\limits_{i, j, k = 1}^2 A_{ijk} \cdot a_i \cdot b_j \cdot c_k,$$

$$\beta = \sum\limits_{i, j, k = 1}^2 B_{ijk} \cdot a_i \cdot b_j \cdot c_k,$$

$$\gamma = \sum\limits_{i, j, k = 1}^2 C_{ijk} \cdot a_i \cdot b_j \cdot c_k.$$

Вектор $(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2)$, удовлетворяющий (1) и (2), будет равновесием Нэша, если ни один игрок не может увеличить выигрыш, изменив свою стратегию, если стратегии остальных игроков остаются фиксированными. Для рассматриваемой игры это условие можно записать следующим образом (для первого игрока):

$$\alpha = a_1 \cdot \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{1jk} \cdot b_j \cdot c_k + a_2 \cdot \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{2jk} \cdot b_j \cdot c_k, \eqno{(3)}$$

$$\alpha \geq \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{1jk} \cdot b_j \cdot c_k, \;\; \alpha \geq \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{2jk} \cdot b_j \cdot c_k. \eqno{(4)}$$

Так как $a_1 + a_2 = 1$ и $a_1 \geq 0$, $a_2 \geq 0$, из этих условий следует, что

$$a_1 \cdot \left( \alpha - \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{1jk} \cdot b_j \cdot c_k\right) = a_2 \cdot \left( \alpha - \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{2jk} \cdot b_j \cdot c_k\right) = 0. \eqno{(5)}$$

Вот то, как получаются равенства (5), мне совершенно непонятно. Я пробовал в (3) переносить всё в левую часть, представлять $\alpha$ как $\alpha(a_1 + a_2)$ - так как $(a_1 + a_2) = 1$, но этот ноль не получается.
Подскажите пожалуйста, как здесь можно от выражений (3) и (4) перейти к (5)?

[snoopy]

На пальцах можно объяснить так.
Выражение $a_1A_1 + a_2A_2$ принимает значения между $A_1$ и $A_2$. Максимумом будет наибольшее из них, при этом соответствующее $a_i$ будет равно $1$, второе $0$.

[EUgeneUS]

Yaroslav_F в сообщении #1312452 писал(а):

Я пробовал в (3) переносить всё в левую часть, представлять $\alpha$ как $\alpha(a_1 + a_2)$ - так как $(a_1 + a_2) = 1$, но этот ноль не получается.

Как же не получается? Если всё переносите в левую часть, то в правой получаете ноль.
Далее у Вас получается два неотрицательных (в силу (4)) слагаемых, сумма которых даёт ноль.

[Yaroslav_F]

EUgeneUS, спасибо, вроде действительно получается.

Перепишем (3) в виде

$$\alpha(a_1 + a_2) - a_1 \cdot \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{1jk} \cdot b_j \cdot c_k - a_2 \cdot \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{2jk} \cdot b_j \cdot c_k = 0.$$

Группируем слагаемые:

$$a_1\left(\alpha - \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{1jk} \cdot b_j \cdot c_k\right) + a_2\left(\alpha - \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{2jk} \cdot b_j \cdot c_k\right) = 0.$$

Так как каждое слагаемое в левой части последнего выражения есть число неотрицательное, то нулю это выражение может быть равно только при

$$a_1\left(\alpha - \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{1jk} \cdot b_j \cdot c_k\right) = 0,$$

$$a_2\left(\alpha - \sum\limits_{j, k = 1}^2 A_{2jk} \cdot b_j \cdot c_k\right) = 0.$$