Размерность, логарифмы и гиперболический арксинус

[misha.physics]

Здравствуйте. Уже пол дня мучаюсь со следующей проблемой.
Есть диф. уравнение:

$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta^2\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}=0$$

Решаю, получаю "длинный логарифм", но его аргумент не безразмерный. Имеет размерность длины $[r]$. Дальше считаю одну величину и получаю не то что нужно.

Потом переписываю диф. уравнение в виде:

$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}=0$$

Решаю, получаю "длинный логарифм", перехожу к гиперболическому арксинусу, считаю ту же величину и, о чудо, получается правильно.

Вопрос: в чем здесь может быть дело?

Величина, которую я ищу ищется дифференцированием $g(r)$ по $C_1$ грубо говоря. В первом случае у меня получаются два похожие члены, но знаки у них одинаковы и они не сокращаются ($C_1$ находится в числителе). А во втором случае возникает знак минус (так как имеется $C_1$ в знаменателе). Действительно ли нужно быть так осторожным и всегда производить обезразмеривание?

P. S. Наверное нужно будет ещё что-то написать, но может вы уже догадываетесь, в чем здесь может быть дело

[Red_Herring]

Упрощу задачу:

$$\int_{r_0}^r \frac{dr}{r}= \ln r- \ln r_0= \ln (r/r_0)$$

и размерность под логарифмом исчезает

[Евгений Машеров]

А можно взглянуть на выкладки? Вдруг там просто где-то знак перепутан?

-- 15 май 2018, 06:53 --

Ну, или то, что в первом случае результат от знака С не зависит...

[misha.physics]

Red_Herring, да, а как быть, если $r$ имеет размерность? Тогда под $r$ нужно понимать только его численное значение?

Евгений Машеров, хотел привести детальные выкладки, но проводя вычисления ещё раз, заметил интересную вещь. Первым способом получается:

$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2_+}\Big)-\frac{C_1}{2}$$

Вторым способом получаю:

$$U=-C_1\ln\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}+\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2_+}{C_1^2}}\Big)$$

Вторую формулу можно преобразовать к виду:

$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2_+}\Big)-C_1\ln\frac{\beta}{C_1}$$

Это меня бы устроило. То есть вторая формула похоже верна.

Но как все это согласовать с первой формулой, где есть $\frac{C_1}{2}$ ?

-- 15 май 2018, 10:41 --

"Первый способ" это решение уравнения:

$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta^2\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}=0$$

"Второй способ" это решение уравнения:

$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}=0$$

Они ведь одинаковы

[Евгений Машеров]

А C знак имеет?

[misha.physics]

Евгений Машеров, по идее это электрический заряд. Я сейчас приведу свои выкладки.

[Red_Herring]

misha.physics в сообщении #1312453 писал(а):

Red_Herring, да, а как быть, если $r$ имеет размерность?

А какая размерность у $r/r_0$?

[misha.physics]

Хорошо, приведу выкладки, а то мне эта проблема покоя не дает.
Есть диф. уравнение:

$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta^2\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}=0$$

Решаем:

$$g=(2\beta^2-\Lambda)r^2-2\beta^2\Bigg[r\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}+\frac{C_1^2}{\beta^2}\ln\Big(r+\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r^2}\Big)\Bigg]-m$$

$m-$постоянная интегрирования

$$g(r_+)=0$$

$$m=(2\beta^2-\Lambda)r_+^2-2\beta^2\Bigg[r_+\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}+\frac{C_1^2}{\beta^2}\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)\Bigg]$$

$$M=\frac{m}{8}$$

$$C_1=2Q$$

$$M=\frac{1}{8}(2\beta^2-\Lambda)r_+^2-\frac{1}{4}\beta^2\Bigg[r_+\sqrt{\frac{4Q^2}{\beta^2}+r_+^2}+\frac{4Q^2}{\beta^2}\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{4Q^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)\Bigg]$$

$$U=\frac{\partial M}{\partial Q}$$

$$U=-C_1\Bigg(\frac{\frac{r_+}{2}}{\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}}+\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)+\frac{\frac{C_1^2}{2\beta^2}}{\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)}\Bigg)$$

Первый и второй члены в скобках дают $\frac{1}{2}$.
Итак:

$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)-\frac{C_1}{2}$$

Теперь переписываем то же диф. уравнение в виде:

$$\frac{dg(r)}{dr}+(2\Lambda-4\beta^2)r+4\beta C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}=0$$

Решаем:

$g=(2\beta^2-\Lambda)r^2-2\beta r\sqrt{C_1^2+\beta^2r^2}-2C_1^2\ln\Big(\frac{\beta r}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r^2}{C_1^2}}\Big)-m$

$M=\frac{1}{8}(2\beta^2-\Lambda)r_+^2-\Bigg[\frac{1}{4}\beta r_+\sqrt{4Q^2+\beta^2r_+^2}+Q^2\ln\Big(\frac{\beta r_+}{2Q}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{4Q2}}\Big)\Bigg]$

$U=-\Bigg[\frac{\frac{\beta r_+}{2}}{\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}}+C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)}-\frac{\frac{\beta r_+}{2}+\frac{\beta^2r_+^2}{2C_1\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}}}{\frac{\beta r_+}{C_1}+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}}\Bigg]$

Первый и третий члены сокращаются, и:

$U=-C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)$

Но как связать между собой выражения:

$$U=-C_1\ln\Big(r_++\sqrt{\frac{C_1^2}{\beta^2}+r_+^2}\Big)-\frac{C_1}{2}$$

и:

$U=-C_1\ln{\Big(\frac{\beta r_+}{C_1}$+\sqrt{1+\frac{\beta^2r_+^2}{C_1^2}}\Big)$

?

-- 15 май 2018, 12:48 --

Red_Herring,

Red_Herring в сообщении #1312480 писал(а):

misha.physics в сообщении #1312453 писал(а):

Red_Herring, да, а как быть, если $r$ имеет размерность?

А какая размерность у $r/r_0$?

В том то и дело. Есть ваша запись:

$$\int_{r_0}^r \frac{dr}{r}= \ln r- \ln r_0= \ln (r/r_0)$$

Пусть $r$ имеет размерность длины. Тогда $r/r_0$ безразмерно. Отлично, справа под логарифмом безразмерная величина, но слева под логарифмом - размерная.

[novichok2018]

Вроде если добавить любую постоянную к решению данного дифура-то снова получится его решение, нет?

[misha.physics]

novichok2018, да, а чтобы выделить какое-то частное решение из всего семейства решений нужно наложить граничные или начальные условия. Думаю я понимаю о чем вы. Мне нужно смотреть в сторону начальных условий. Просто я не могу понять, откуда возьмется эта двойка в $C_1/2$.

[Red_Herring]

misha.physics

Цитата:

А какая размерность у $r/r_0$?

Соизвольте отвечать на вопрос.

[misha.physics]

Red_Herring, простите пожалуйста. Размерность $r/r_0$ единица. То есть эта величина безразмерна.

[Red_Herring]

misha.physics в сообщении #1312520 писал(а):

То есть эта величина безразмерна.

И там так же. У вас логарифм возникает? Чего? Какого-то выражения от $r$ или все-таки отношения этого выражения от $r$ и его же от $r_+$.

[misha.physics]

Red_Herring,

Цитата:

И там так же. У вас логарифм возникает? Чего? Какого-то выражения от $r$ или все-таки отношения этого выражения от $r$ и его же от $r_+$.

Да, у меня получается логарифм. Можно сделать так чтобы его аргумет был безразмерный, а можно оставить размерным. И меня удивляет почему-то сам факто этого. Что в принципе под логарифмом должна быть безразмерная величина. И мы можем так сделать. Но можем сделать и наоборот... Удивительные эти логарифмы.

[EUgeneUS]

misha.physics в сообщении #1312534 писал(а):

Да, у меня получается логарифм. Можно сделать так чтобы его аргумет был безразмерный, а можно оставить размерным. И меня удивляет почему-то сам факто этого. Что в принципе под логарифмом должна быть безразмерная величина. И мы можем так сделать. Но можем сделать и наоборот...

Это так, если у Вас величина, в которую логарифм входит, как слагаемое, (в данном случае $U(r)$) определено с точностью до константы.