Задача о связных пространствах

[SomePupil]

В учебнике есть такая задача. Пусть $Y \subset X,$ где $Y, X -$ связные пространства. $X-Y$ по условию несвязно и распадается на открытые $A$ и $B,$ т. е. $X-Y = A\cup B.$ Надо доказать, что $Y \cup A$ и $Y \cup B$ связны.

После нескольких неудачных попыток, я, наконец, построил доказательство, но оно такое, что не все математики его примут. Идея этого доказательства заключается в том, чтобы разделить $A$ и $B$ на связные компоненты, и потом работать уже с этими компонентами. Легко показать, например, что существует точка $c \in \overline{Y} \cap A,$ рассматриваем компоненту $A,$ содержащую $c -$ её объединение с $Y$ даст связное пространство. Далее продолжаем этот процесс, пока не покажем, что $Y \cup A$ связно. Аналогично поступаем с $B.$

Как можно построить нормальное доказательство?

И еще доп. вопрос. Рука хотела выделить словосочетание "по условию" (см. первый абзац) запятыми с двух сторон, а также раздельно написать частицу "не" в слове "несвязно", но я остановил её. Правильно ли это? Или в предложении есть место свободе авторской пунктуации?

[Someone]

SomePupil в сообщении #1311864 писал(а):

$X-Y$ по условию несвязно и распадается на открытые $A$ и $B,$

Открытые где? В $X$? Если в условии сказано просто "открытые", то в $X$.

SomePupil в сообщении #1311864 писал(а):

существует точка $c \in \overline{Y} \cap A,$

Если $A$ открытое, то такой точки нет. Не говоря уже о том, что если $A$ и $B$ открытые, то $Y$ замкнутое.

[SomePupil]

Someone в сообщении #1311871 писал(а):

Открытые где? В $X$?

Открытые в $X - Y,$ это я сам коряво написал.

Someone в сообщении #1311871 писал(а):

Если $A$ открытое, то такой точки нет.

Напишу, почему я думаю, что она есть. Рассмотрим выражение $X = Y \cup A \cup B.$ Так как $X$ связно, то $\overline{Y\cup B} \cap A \ne \varnothing.$ Пусть $c \in \overline{Y\cup B} \cap A.$ Тогда $c \in A,$ и $c$ не входит в $\overline{B},$ так как $\overline{B} \cap A = \varnothing.$ Значит, $c \in \overline Y.$

[demolishka]

SomePupil в сообщении #1311864 писал(а):

Как можно построить нормальное доказательство?

Попытайтесь не использовать сложные конструкции типа "разбиения на связные компоненты" и взятия точек в каких-то замыканиях. Связность множества по определению нужно доказывать от противного. Пусть $ Y \cup B$ несвязно. Тогда есть два открытых (в $X$) непересекающихся множества $\widetilde{A},\widetilde{B}$ таких, что $\widetilde{A} \cup \widetilde{B} \supset Y \cup B$. Ну и раскручивайте дальше, используя условия задачи...

SomePupil в сообщении #1311864 писал(а):

также раздельно написать частицу "не" в слове "несвязно"

"Не связно" означает отсутствие у объекта свойства связности, а "несвязно" означает обладание свойством, которое заключается в том, чтобы свойство связности отсутствовало . Аналогично и с кучей других свойств в математике. В общем, и то и другое написание имеет право на жизнь.

[nya]

Выписать первые три (четыре) члена редуцированной последовательности майера-виеториса для $A \cup Y$ и $B \cup Y$ и воспользоваться тем, что нулевые редуцированные гомологии равны нулю только когда пространство связно.